Aufstellen Funktionsgleichung?

Question

Hallo,

ich brauche dringend Eure Hilfe.
Ich soll mit einem Hoch - und Tiefpunkt und ein Wendepunkt die Funktion eines dritten Grades aufstellen.

H (-3|4) W (-2|2) T(-1|0)

So weit bin ich gekommen:

I = -27a+6b-3c+d
II = -27a-6b+c = 0
III = -8a-4b-2c+d
IV = -12a+2b = 0

Wie kann ich nun ein Vektor eleminieren? Brauche ich den Tiefpunkt auch noch nutzen, da ich schon 4 Informationen habe?

Wurzelgnom · Accepted Answer

Zunächst mal:
Den Tiefpunkt brauchst Du nicht unbedingt,
denn wenn man den Wendepunkt und den Hochpunkt kennt, ist der Tiefpunkt ohnehin bekannt.

Nur: Der Tiefpunkt hat Koordinaten, mit denen es sich einfach leichter rechnen lässt als mit dem Hochpunkt.
DESWEGEN würde ich den lieber nehmen.

f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f '(x) = 3ax² + 2bx + c
f ''(x) = 6ax + 2b

Wendepunkt:
f ''(2) = - 12a + 2b = 0 => b = 6a

Jetzt einsetzen in die 1. Ableitung:
f '( - 1) = 3a - 12a + c = 0 => - 9a + c = 0 => c = 9a

Einsetzen in die Funktionsgleichung:
f ( - 1) = - a + 6a - 9a + d = 0 => d = 4a

Also:
f(x) = ax³ + 6ax² + 9ax + 4a

f( - 2) = - 8a + 24a - 18a + 4a = 2 => 2a = 2 => a = 1

a = 1, b = 6, c = 9, d = 4

y = f(x) = x³ - 6x² + 9x + 4

Peter3_1415 · Answer

Eine ganzrationale Fkt. 3. Grade, hat die Form f(x)=axÂ³ +bxÂ² +cx +d.
Du musst vier Buchstaben Ausrechnen, also brauchst du auch vier Gleichungen. 
Die Ableitungen sind fÂ´(x)= 3axÂ³+2bx+c und fÂ´Â´(x)=6ax + 2b.

Als Bedingungen wÃ¤ren einmal die beiden Extrempunkte sinnig (H und T in f`(x) einsetzten).
Wenn ein Hochpunkt bei x=-3 und ein Tiefpunkt bei x=-1 liegt, muss dazwischen auch ein Wendepunkt sein. 
Die beiden anderen Gleichungen sind Wendepunkt und Hochpunkt (alternativ auch Tiefpunkt) in der Ursprungsgleichung f(x). 
Du brauchst mindestens eine Bedingung in f(x), da du sonst keine mit einem d hÃ¤ttest. 
Demnach: 
I    0 = 27a-6b+c_______[H in fÂ´(x)]
II   0 = 3a-2b+c________[T in fÂ´(x)]
III  4 = -27a+9b-3c+d___[W in f(x)] 
IV 2 = -8a+4b-2c+d____[H in  f(x)]__<-- alternativ auch T

Die MÃ¶glichkeiten der AuflÃ¶sung sind vielfÃ¤ltig vom GauÃschen Algorithmus Ã¼ber das Einsetzungsverfahren, bis zum Additionsverfahren ist nun alles mÃ¶glich. 
Ich wÃ¼rde das ganze mit dem GauÃschen Algorithmus machen, der nichts anderes ist als eine bestimmte Vorgehensweise beim Additionsverfahren.
Das ganze lÃ¤uft dann auf die LÃ¶sung eines linaren Gleichungssystems heraus. Da die schriftliche ErklÃ¤rung wahnsinnig lang werden wÃ¼rde, empfehle ich Dir sehr dieses Video einmal anzusehen indem das ganze gezeigt wird. :) 
http://www.youtube.com/watch?v=DNSB9PwzwM8

Als ich damals damit Probleme hatte, hat es mir auch geholfen. :)

Nach der fertigen Umstellung kommt raus, dass a=1 ; b=6 ; c=9 und d=4 gilt. 
Die Funktion f(x)= xÂ³ +6xÂ² +9x +4 ist somit die LÃ¶sung.

Aufstellen Funktionsgleichung?

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