Polynomdivision-Wie geht's weiter?

Beste Antwort

Ja, Fragi, da muss Dich Dich leider enttäuschen.

Deine Berechnung ist okay.
Aber die Gleichung x³ - 4x - 1 = 0
ist nicht so ohne Weiteres zu lösen.

Im Schulstoff ist nur die Lösung quadratischer Gleichungen vorgesehen. Oder die Bearbeitung von spezialfällen, die sich letztendlich wieder auf quadratische zurückführen lassen.

Andererseits weißt Du natürlich, dass JEDE Funktion dritten Grades MINDESTENS eine Nullstelle haben muss, so auch die Funktion
y = f(x) = x³ - 4x - 1

Es gibt aber auch Lösungsschemata für Gleichungen dritten und vierten Grades von Cardano.

http://de.wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardano

Du erkennst aber sehr schnell, dass es keine weiteren ganzzahligen Lösungen geben kann:

x³ - 4x - 1 = 0 <=>
x³ - 4x = 1
x(x² - 4) = 1
x(x - 2)(x + 2) = 1

Deiner Aufgabenstellung entspricht diese Cardano-Formel:

http://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln

Wenn Du bei wolfram alpha nachfragst, erhältst Du näherungsweise die restlichen drei Lösungen:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%C2%B3-4x-1+%3D+0

Und hier habe ich Dir eine Grafik angefertigt,
in der Du die Ausgangsfunktion mit all ihren vier Nullstellen sehen kannst. Auch die näherungsweisen Angaben der Nullstellen sind hier eingetragen:
http://www.bilder-hochladen.net/files/big/9aqw-d1-250c.jpg...Mehr anzeigen

Hallo, FRAGI und auch schönen Sonntag an Wurzelgnom!

Hab mir eben mal die anderen von dir gestellten Fragen angesehen und vermute, dass du noch irgendwo in der gymnasialen Oberstufe an Hausaufgaben sitzt... (Einige deutsche Bundesländer haben ja schon Sommerferien.)

Richtig ist zunächst dies:
(x⁴ + 2x³ - 4x² - 9x - 2) : (x+2) = x³ - 4x - 1;
also ließe sich die Funktion f(x) = x⁴ + 2x³ - 4x² - 9x - 2
auch so beschreiben: f(x) = (x+2)(x³ - 4x - 1).

Die Funktion f ist vom Grad 4, kann also keine, eine, ... bis zu vier Nullstellen haben...

Zur Bestimmung der (bzw. aller) Nullstellen müsste man nun auch die Gleichung
0 = x³ - 4x - 1 lösen.

Richtig ist auch — wie du schon bei Wurzelgnom nachlesen konntest —, dass
g(x)=x³-4x-1 (als "eigene" Funktion betrachtet) keine GANZzahligen Nullstellen hat,
denn für alle ganzzahligen Teiler des absoluten Gliedes, also für x=±1 ist g(±1)≠0.

Da jedoch g(x) eine Polynomfunktion, also stetig und von ungeradem Grade ist,
MUSS sie (mindestens) eine Nullstelle haben.

In der Oberstufe schaffen es manche Lehrkräfte, auf Näherungsverfahren einzugehen...

Ich beschreibe hier kurz das Bisektions-Verfahren:
------------------------------- ----------------------------------
Man suche sich von dieser stetigen Funktion zwei Stellen a und b
bei denen die Funktionswerte unterschiedliches Vorzeichen haben, also g(a)⋅g(b)<0.

Vorschlag ergibt sich aus Wertetabelle:
x ......... 1 ....... 2 ....... 3 . . .
------- -------- -------- -------- -------
g(x) .... -4 ..... -1 ...... 14 . . .
Sei a=2 und b=3, dann MUSS es im Intervall (2 ; 3) eine Nullstelle geben.

Nun beginnt man mit dem Halbieren des Intervalls:
x_M = ½⋅(a+b) → Die Stelle x_M exakt in der Mitte des Intervalls ist jetzt 2,5.

Man braucht (nur) das VORZEICHEN des Funktionswertes g(2,5),
also g(2,5) = +4,625 > 0 ⇒ Nun ersetzt man denjenigen Intervallrand, an dem vorher der positive Funktionswert vorlag (das war hier g(3), also g(b), durch diesen Mittelwert des Intervalls;
das neu zu betrachtende Intervall ist jetzt ( 2 ; 2,5 ).

Diese Prozedur wiederholt man so lange, bis man die Nullstelle weit genug eingeschachtelt, also genau genug bestimmt hat. (Die Rechnungen ließen sich gut in einer Tabelle anordnen.)
Für das Ende eines solchen Iterationsprozesses bräuchte man im Allgemeinen eine Vorgabe, etwa: "Bestimmen Sie die Nullstelle auf eine (oder zwei) Dezimale(n) genau!"...Mehr anzeigen