Wie rechnen deutsche Schüler Polynom-Division mit Rest?

@Hansjörg: 4 kann gar nicht sein!

@παρισα: Die Idee (o. ä.) hatte ich anfangs auch, da ja x²+3x+2=(x+2)(x+1) ist.

Nun - nach (m)einem IrishCreamTea mit IrishCreamWhisky (Blutkreislauf-Anregung) und dem emotionalen Film im Ersten, kam mir die richtige Idee. Mal sehen, ob ich's schlüssig - heute sagt man wohl "stringent" dazu - aufgeschrieben bekomme.

Der einfachste Fall ist sicherlich, wenn W(x) vom Grad 2 wäre.

Das Polynom W(x) wird dividiert:

(1) W(x) : (x+2) ergibt Rest 8 ⇒ W(x) = (ax+b)⋅(x+2) + 8

(2) W(x) : (x+1) ergibt Rest -4 ⇒ W(x) = (cx+d)⋅(x+1) - 4

(1) ⇒ W(x) = ax² + (2a+b)x + (2b+8)

(2) ⇒ W(x) = cx² + (c+d)x + (d-4)

Der Einfachheit halber (oder notwendigerweise) setze ich mal c=a...

(1) ⇒ W(x) = ax² + (2a+b)x + (2b+8)

(2) ⇒ W(x) = ax² + (a+d)x + (d-4)

... bzw. sogar c=a=1:

(1) ⇒ W(x) = x² + (2+b)x + (2b+8)

(2) ⇒ W(x) = x² + (1+d)x + (d-4)

Durch Koeffizientenvergleich erhält man:

2+b = 1+d

2b+8 = d-4

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b=-11

d=-10

Damit erhalte ich:

(1) W(x) = x² + (2-11)x + (-22+8) = x² - 9x - 14

(2) W(x) = x² + (1-10)x + (-10-4) = x² - 9x - 14

Das Polynom W(x) = x² - 9x - 14 liefert tatsächlich die beiden genannten Ergebnisse.

Schließlich die Zusatzfrage:

(x²-9x-14):(x²+3x+2)=1 - (12x+16)/(x²+3x+2) ⇒ Der "Rest" ist also (-12x-16).

P. S. 1:

Für mich bleibt ein kleiner Zweifel an den Stellen, wo ich c=a bzw. c=a=1 setzte.

Kann man da - wie es im Studium meist hieß - o. B. d. A. sagen?

Eigentlich war es ja nur EIN Versuch, und m. E. hätte er auch schief gehen können.

@Wurzelgnom:

Steht in dem Buch auch der vorgeschlagene Lösungsweg?

(Gegebenenfalls könnte man ihn - evtl. als Kommentar - darbieten?)

Danke jedenfalls für die Anregung!

P. S. 2:

Übrigens finde ich auf den spanischsprachigen Yahoo-Seiten auch viele Anregungen zu den verschiedensten Themen. Man kann z. B. Geraden (im Raum) noch ganz anders darstellen, als es in den deutschen Lehrbüchern (bisher) üblich ist.

@Tom:

Deiner Meinung schließe ich mich an. Ich überlegte schon, ob es in Deutschland in der 11. Klasse (an Gesamtschulen) oder bestenfalls für leistungsstarke Schüler der 10. Klasse an (guten) Gymnasien lösbar wäre.

Auch habe ich festgestellt, dass das Internationale Abitur (International Baccalaureate) in Mathematik weitaus höhere Anforderungen stellt als das deutsche; da hat man sogar, wenn man (in Ma) durchgefallen ist, gute Chancen, an einer technischen Hochschule ein Studium zu bekommen!

Ja Ossesinanto, auf -12x-16 bin ich auch

gekommen, aber auf anderem Weg:

W(x) lässt bei der Divission durch (x+2) den

Rest 8. => es existiert ein Polynom p(x), so

dass W(x) = (x+2)*p(x)+8 gilt.

Analog folgert man

W(x) = (x+1)*q(x)-4.

Subtrahiert man die zweite Gleichung von der

ersten, so erhält man

0 = (x+2)*p(x)-(x+1)*q(x)+12

und mithin

0 = (p(x)-q(x))*x+2p(x)-q(x)+12 für alle reellen x.

Durch einen Koeffizientenvergleich gelangt man zu

p(x)-q(x)=0 und 2p(x)-q(x)=-12.

Dieses LGS hat die Lösung

p(x)=-12 und q(x)=-12.

Folglich ist

W(x) = (x+2)*(-12)+8 = -12x-16 oder aber auch

W(x) = (x+1)*(-12)-4 = -12x-16.

Der Rest, den W(x) bei der Divission durch (x+1)*(x+2)

lässt, ist somit auch -12x-16, da der Grad von W(x)

schon kleiner als der von x²+3x+2 ist.

Ach und P.S.: Bevor ich es vergesse, das kann kein

normaler Schüler der 10. Klasse in Dtl.

nochmal P.S.: Das Polynom W(x) hat dann die Gestalt

W(x) = s(x)*(x²+3x+2) -12x-16 für ein s(x) aus dem Ring

der Polynome |R[x] mit Koeffizienten aus |R.

Hallo,

ich wüsste jetzt nicht wie man das machen sollte, aber hier meine Idee:

Es gilt:

(x+2) *(x+1) = x² + 3x + 2

Was man jetzt mit den Resten 8 und (-4) anstellt weiß ich nicht.

Vielleicht sind es -2 ?

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