Herleitung des Kegelvolumens mit Hilfe des Rotationsvolumens - wo ist der Fehler ?
Zeichnet man eine Funktion f(x) = 2x in ein Koordinatensystem mit [0<x<2], so lässt sich daraus ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren.
Lässt man dieses Dreieck um die x-Achse rotieren, so entsteht ja ein Kegel.
Der x-Achsenabschnitt ist die spätere Höhe h des Kegels - und die Höhe des Dreiecks ist der spätere Radius r des Kegels.
Jetzt kommt die Überlegung :
Die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks beträgt : h * 1/2 * r (Grundseite mal halbe Höhe).
Die Fläche dieses Dreiecks multipliziere ich jetzt mit 2 * pi * r , da ich ja das Dreieck einmal ganz um die Achse rotieren lasse.
Dann wäre das Volumen des Kegels aber : V = h * 1/2 * r * 2 * pi * r = r² * pi * h = Grundfläche mal Höhe des Kegels.
Das kann aber nicht stimmen, da das Volumen nur ein Drittel davon beträgt.
Wo steckt in dieser Überlegung der Fehler ?
Integration ist ja ganz schön und nett... aber die Fläche unterhalb meiner Funktion kenne ich doch bereits. Das ist h * 1/2 * r
Da muss ich auch nix in feine Scheiben teilen (wie bei Flächen unterhalb von Kurven), das ist doch eindeutig geregelt bei Flächen von Dreiecken.
Die einzige Frage ist doch : Wie oft müsste ich diese Dreiecksfläche vervielfachen, bis ich das Kegelvolumen habe ? Nach meinem Ansatz komme ich ja zur Fläche eines Zylinders, also viel zu viel...
Dann mal bitte ganz konkret :
WARUM muss man hier integrieren ? - ich hab die Herleitung bei Wikipedia ja auch gesehen... und man kommt mit Integration auch tatsächlich auf die Formel...
Aber die Frage ist ja nicht : Wie kann ich einen Kegelvolumen herleiten - sondern WO liegt der Fehler ?
Was ist falsch an der Überlegung, ganz viele Dreiecksflächen (nämlich genau 2*pi*r) zusammen zu zählen ?
Da ist die Antwort : "Musst du halt integrieren, dann kommst du auf's richtige Ergebnis" etwas unbefriedigend... ;)