Herleitung des Kegelvolumens mit Hilfe des Rotationsvolumens - wo ist der Fehler ?

Question

Zeichnet man eine Funktion f(x) = 2x in ein Koordinatensystem mit [0<x<2], so lässt sich daraus ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren.
Lässt man dieses Dreieck um die x-Achse rotieren, so entsteht ja ein Kegel. 

Der x-Achsenabschnitt ist die spätere Höhe h des Kegels - und die Höhe des Dreiecks ist der spätere Radius r des Kegels. 

Jetzt kommt die Überlegung : 
Die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks beträgt : h * 1/2 * r (Grundseite mal halbe Höhe). 

Die Fläche dieses Dreiecks multipliziere ich jetzt mit 2 * pi * r , da ich ja das Dreieck einmal ganz um die Achse rotieren lasse. 
Dann wäre das Volumen des Kegels aber : V = h * 1/2 * r * 2 * pi * r = r² * pi * h = Grundfläche mal Höhe des Kegels. 

Das kann aber nicht stimmen, da das Volumen nur ein Drittel davon beträgt. 
Wo steckt in dieser Überlegung der Fehler ?

Wurzelgnom · Accepted Answer

Ja, Du musst tatsächlich integrieren.
Das mit dem "in kleine Scheibchen schneiden" ist nur eine Vorüberlegung.

Also integrierst Du

V = π ∫ y² dx in den Grenzen von 0 bis 2

y ist nämlich der Radius der Teilflächen bei der Rotation.

y = 2x =>
y² = 4x²

Also.
V = π ∫ (4x²) dx = π [4/3 x³] in den Grenzen von 0 bis 2

V = π 4/3 * 8 = 32/3 * π

@ Ergänzung:
Was ist falsch an Deiner Überlegung?
Wenn Du eine Fläche mit einem konstanten Faktor multiplizierst, erhältst Du ein Prisma, bei dem diese Fläche die Grundfläche ist.

Du hättest also ein dreiseitiges Prisma und keinen Kegel.

@Ergänzung 2
Stelle Dir eine Torte vor.
Das ist auch ein solcher Rotationskörper.
Wenn Du Tortenstücke abschneidest, siehst Du deutlich, dass die einzelnen Stücke in der Mitte dünner sind als am Rand.
So ist es mit Deinem um die Achse rotierendenm Dreieck.
An der Achse wären die Dreiecke dichter beisammen als außen. Es kann sich also nicht um ein lineares Aufaddieren der einzelnen Freiecksflächen handeln.

@Ergänzung 3

Du schreibst: "Was ist falsch an der Überlegung, ganz viele Dreiecksflächen (nämlich genau 2*pi*r) zusammen zu zählen ?"
ABER... Welchen Radius meinst Du mit "r"?

Die Punkte rotieren doch mit einem unterschiedlichen Radius.
Es gibt Punkte, die liegen ganz dicht an der Rotationsachse, und solche, die fast so weit weg sind wie der Grundkreisradius.

ohne.inhalt · Answer

der Gedankenfehler liegt in der Rechnung von GrundflÃ¤che zu Kegelvolumen. Hier darfst Du nicht einfach multiplizieren sondern musst das Dreieck integrieren. Du berechnest quasi das Dreieck in ganz feine Scheiben zerteil jeweils die entsprechende FlÃ¤che wenn die Dreieckscheibe um die x-Achse rotiert und addierst diese von Null bis 2 auf. Das ist dann Integrieren und geht nicht einfach mit malnehmen.
Dadurch entsteht die Formel fÃ¼r das Volumend des Kegels.

Herleitung des Kegelvolumens mit Hilfe des Rotationsvolumens - wo ist der Fehler ?

2 Antworten