Kreisausschnitt: alpha aus Bogenlänge und Sekante?
Hi hab als Aufgabe
Vorgegeben: b Bogenlänge und s Sekante
daraus soll man folgende werte errechnen: a (alpha in Grad) r (Schenkellänge/Radius) und A (Kreisausschnittsfläche)
r und A kann ich zwar über a berechnen allerdings komm ich aus b und s nicht auf a
b = 23,08 s = 22,48 a= müsste als Ergebnis 45° haben(weis ich aus dem rest der Aufgabe)
kann mir da jemand ne Formel für a sagen?
Zweite Aufgabe ist:
Vorgegeben: Kreisausschnittsfläche(A) und Sekante(s):
daraus soll man folgende werte errechnen: r (Schenkellänge/Radius) a (alpha in Grad), und b (Bogenlänge)
a und b kann ich zwar über r berechnen allerdings komme ich hier nicht von A und s auf r
s = 22,48 A = 338,98 r = müsste als Ergebnis 29,38 haben(weis ich aus dem rest der Aufgabe)
kann mir da jemand ne Formel für r sagen?
Hab Mehrere Stunden rumprobiert, gegoogelt kollegen gefragt aber komm da absolut nicht drauf :O Wäre für jede Hilfe Dankbar
2012-05-31T04:03:53Z
Danke für die Hilfe Wurzelgnom, aber welchen Wert hat "Winkel a im Bogenmaß"
und wie kann ich hier mit r rechnen wenn ich das noch gar nicht habe? Dann ist a/(2 pi) = b / ( 2 pi r), also a/2 = b/(2r)
sry aber ich versteh nur noch bahnhof
Wurzelgnom2012-05-30T22:47:18Z
Beste Antwort
Also, ich habe eine Lösung (?) oder doch zumindest den Versuch einer solchen......
Dazu arbeite ich zunächst mal mit dem Winkel a im Bogenmaß.
Dann ist a/(2 pi) = b / ( 2 pi r), also a/2 = b/(2r)
------------------ ------------------------ --------------------- ---------------------- ------------- @ Erklärung: a (Winkel im Bogenmaß) zu 2 pi (Vollwinkel im Bogenmaß, Umfang des Einheitskreises) wie Bogen b zum Umfang des Kreises U = 2 pi r ------------------------- -------------------------- ------------------------ ---------------- --------
Für die halbe Sekante s gilt sin a/2 = (s/2) : r = s /(2r)
sin (a/2) = s / (2r) => s = 2r sin (a/2) a/2 = b/(2r) => b = 2r * a/2
Also gilt: s / b = sin(a/2) / (a/2) => sin a/2 = s/b * a/2
Setze für a/2 = x, so erhalten wir die Gleichung: sin x = 22,48/23,08 x
Und die habe ich nun wolframalpha lösen lassen (wovon ich ansonsten nicht allzu viel halte)
Es handelt sich offensichtlich um den gleichen Kreisausschnitt wie im 1. Teil:
Nun wenden wir den Sinussatz an: r / s = sin 67,5° / sin 45°, also r = 22,48 * sin 67,5° / sin 45° = 29,3715
Wenn allerdings von vornherein klar ist, dass es sich um den gleichen Kreisausschnitt handelt, dann geht das einfacher: A/(pi r²) = b / (2 pi r), also A/r = b/2 => r = 2A/b
r = 2*338,98 / 23,08 = 29,374
@Ergänzung
ich hatte doch oben geschrieben, dass ich x für a/2 gesetzt habe.
Die Gleichung gibt die Lösung x = 0,392436
Dann ist a doppelt so groß.
Die beziehung zwischen Winkeln im Gradmaß a°und im Bogenmaß a) ist a° / a) = 360° / (2 pi )
Denn der Vollwinkel von 360° entspricht dem Vollbogen von 2 pi (Umfang des Einheitskreises)
Also erhältst Du den Winkel im Gradmaß a° aus dem Winkel a) im Bogenmaß als a° = a) * 180°/pi
Hier also a° = 2*0,392436 * 180° / pi
@Und hier Deine 2. Frage: "Dann ist a/(2 pi) = b / ( 2 pi r), also a/2 = b/(2r)"
Macht doch nix, dass ich r noch nicht kenne. Wenn ich in der nächsten Reihe s/b bilde, kann ich r doch wieder rauskürzen: s / b = sin(a/2) / (a/2) => sin a/2 = s/b * a/2
Hat das geholfen? Sonst frage bitte ruhig weiter. (Bin noch eine Weile am Computer)