Kreisausschnitt: alpha aus Bogenlänge und Sekante?

Question

Hi hab als Aufgabe 

Vorgegeben:
b Bogenlänge 
und s Sekante

daraus soll man folgende werte errechnen:
a (alpha in Grad)
r (Schenkellänge/Radius) 
und A (Kreisausschnittsfläche)

r und A kann ich zwar über a berechnen allerdings komm ich aus b und s nicht auf a

b = 23,08 s = 22,48
a= müsste als Ergebnis 45° haben(weis ich aus dem rest der Aufgabe)

kann mir da jemand ne Formel für a sagen?



Zweite Aufgabe ist:

Vorgegeben:
Kreisausschnittsfläche(A) 
und Sekante(s):

daraus soll man folgende werte errechnen:
r (Schenkellänge/Radius)
a (alpha in Grad), 
und b (Bogenlänge)

a und b kann ich zwar über r berechnen allerdings komme ich hier nicht von A und s auf r

s = 22,48 A = 338,98
r = müsste als Ergebnis 29,38 haben(weis ich aus dem rest der Aufgabe)

kann mir da jemand ne Formel für r sagen?

Hab Mehrere Stunden rumprobiert, gegoogelt kollegen gefragt aber komm da absolut nicht drauf :O
Wäre für jede Hilfe Dankbar

Wurzelgnom · Accepted Answer

Also, ich habe eine Lösung (?) oder doch zumindest den Versuch einer solchen......

Dazu arbeite ich zunächst mal mit dem Winkel a im Bogenmaß.

Dann ist a/(2 pi) = b / ( 2 pi r), also a/2 = b/(2r)

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@ Erklärung:
a (Winkel im Bogenmaß) zu 2 pi (Vollwinkel im Bogenmaß, Umfang des Einheitskreises)
wie Bogen b zum Umfang des Kreises U = 2 pi r
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Für die halbe Sekante s gilt
sin a/2 = (s/2) : r = s /(2r)

sin (a/2) = s / (2r) => s = 2r sin (a/2)
a/2 = b/(2r) => b = 2r * a/2

Also gilt:
s / b = sin(a/2) / (a/2)  => sin a/2 = s/b * a/2

Setze für a/2 = x, so erhalten wir die Gleichung:
sin x = 22,48/23,08 x

Und die habe ich nun wolframalpha lösen lassen (wovon ich ansonsten nicht allzu viel halte)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+sin%28x%29+%3D+22.48%2F23.08+*+x

Das ergab für a/2 im Bogenmaß den Wert 0,396498, was tatsächlich dann für a im Gradmaß etwa 45° liefert.

Also elegant ist anders...

Nun ähnlich zum 2. Teil:
Sei wieder a/2 = x
Es gilt (wie oben) sin x = s/(2r) => r = s/(2 sin x)

Wir nehmen a/2 = x wieder im Bogenmaß. Dann gilt:
A /(2 pi r) = x / (2 pi) => A / r² = x

Jetzt für x = s/(2 sin x) einsetzen.

Das liefert:
x = 4 A * sin²x / s², also hier konkret:

x = 4 * 338,98 * sin²x / 22,48²

Hier liefert wolframalpha die gleiche Lösung für x = 0,392436

http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+22.48%C2%B2x+%3D+4*338.98*%28sin%28x%29%29%C2%B2

Im Gradmaß gilt also: a = 45°

Es handelt sich offensichtlich um den gleichen Kreisausschnitt wie im 1. Teil:

Nun wenden wir den Sinussatz an:
r / s = sin 67,5° / sin 45°, also
r = 22,48 * sin 67,5° / sin 45° = 29,3715

Wenn allerdings von vornherein klar ist, dass es sich um den gleichen Kreisausschnitt handelt, dann geht das einfacher:
A/(pi r²) = b / (2 pi r), also
A/r = b/2 =>
r = 2A/b

r = 2*338,98 / 23,08 = 29,374

@Ergänzung

ich hatte doch oben geschrieben, dass ich x für a/2 gesetzt habe.

Die Gleichung gibt die Lösung x = 0,392436

Dann ist a doppelt so groß.

Die beziehung zwischen Winkeln im Gradmaß a°und im Bogenmaß a) ist
a° / a) = 360° / (2 pi )

Denn der Vollwinkel von 360° entspricht dem Vollbogen von 2 pi (Umfang des Einheitskreises)

Also erhältst Du den Winkel im Gradmaß a° aus dem Winkel a) im Bogenmaß als
a° = a) * 180°/pi

Hier also
a° = 2*0,392436 * 180° / pi

@Und hier Deine 2. Frage:
"Dann ist a/(2 pi) = b / ( 2 pi r), also a/2 = b/(2r)"

Macht doch nix, dass ich r noch nicht kenne.
Wenn ich in der nächsten Reihe
s/b bilde, kann ich r doch wieder rauskürzen:
s / b = sin(a/2) / (a/2)  => sin a/2 = s/b * a/2

Hat das geholfen?
Sonst frage bitte ruhig weiter.
(Bin noch eine Weile am Computer)

Kreisausschnitt: alpha aus Bogenlänge und Sekante?

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