kann mir jemand dieses verfahren erklären(ebene: parameterform in koordinatform)?
die klammern sollen vektoren sein
vec(x)=(1,2,3)+s(4,5,6)+t(7,8,9)
4a+5b+6c=0 7a+8b+9c=0
dann löse ich dieses system, wobei ich eine variable frei wähle. die lösungen sind die koeffizienten von x1,x2 und x3. anschließend setze ich in den term ax1+bx2+cx3 für x1... die komponenten des stützvektors ein. die zahl, die ich erhalte, macht den term dann zur koordinatengleichung der ebene.
was steckt mathematisch dahinter?
Wurzelgnom2012-05-10T11:57:16Z
Beste Antwort
In Parameterform ist die Gleichung der Ebene: (x;y;z) = (1;2;3) + s(4;5;6) + t(7;8;9)
Das bedeutet, dass A(1;2;3) ein Punkt in der Ebene ist, von dem aus die beiden Vektoren ->a(4;5;6) uns ->b(7;8;9) die Ebene aufspannen.
Dabei sind die Richtungsvektoren ->a(4;5,6) und ->b(7;8;9) linear unabhängig.
Aber jeder Normalenvektor der Ebene (also ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht), muss zu beiden Vektoren orthogonal sein. Also muss n(a,b;c) senkrecht auf ->a und ->b stehen. Damit sind beide Skalarprodukte 0: ->a * n = 0 und ->b*n = 0 (4;5;6)*(a;b;c) = 4a + 5b + 6c = 0 und (7;8;9)*(a;b;c) = 7a + 8b + 9c = 0
Du erhältst ein Gleichungssystem in zwei Gleichungen und drei Variablen. Also kannst du eine Variable frei wählen. Dann erhältst Du EINEN Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht (jeder Vielfach von n tut das auch)
Mit diesem Normalenvektor n(a,b;c) kannst Du die Gleichung einer Ebene aufstellen, die von den beiden Richtungsvektoren aufgespannt wird: ax + by + cz = k k ist dabei eine Konstante. Welche, das kriegst Du raus, wenn Du die Koordinaten EINES Punktes einsetzt, der in dieser ebene liegt, also kannst Du A(1;2;3) dafür nehmen, denn von diesem Punkt wissen wir ja von Anfang an, dass er in dieser Ebene liegen soll.
@Ursula PS Konntest Du etwas mit meiner Antwort bzgl. der abelschen Gruppe aller Drehungen um O in der Ebene anfangen? http://de.answers.yahoo.com/question/index;_ylt=AgFKrtm9RJ54YTO5kasaHN8ICgx.;_ylv=3?qid=20120510024217AAhSTBi
Wenn nicht, frag ruhig noch mal nach. Ich erläutere das gerne auch ausführlicher.
vec(x)=(1,2,3)+s(4,5,6)+t(7,8,9) das hier ist eine Ebene in Parameterform ich vermute du willst die in Normalform darstellen
dazu gibt es mehrere wege einfachste ist mit determinante.
oder du nimmst x = 1 + 4s + 7t y = 2 + 5s + 8t z = 3 + 6s + 9t eliminierst s und t hast dann eine gleichung mit x. y und z daraus kannst du leicht Normalform ableiten.
was du mit koordinantenform meinst verstehe ich nicht , falls achsenabschnittform sein soll , die kannst du dann aus normalform ableiten. falls du fragen hast kannst du gerne stellen