kann mir jemand dieses verfahren erklären(ebene: parameterform in koordinatform)?

Question

die klammern sollen vektoren sein

vec(x)=(1,2,3)+s(4,5,6)+t(7,8,9)

4a+5b+6c=0
7a+8b+9c=0

dann löse ich dieses system, wobei ich eine variable frei wähle. die lösungen sind die koeffizienten von x1,x2 und x3. anschließend setze ich in den term ax1+bx2+cx3 für x1... die komponenten des stützvektors ein. die zahl, die ich erhalte, macht den term dann zur koordinatengleichung der ebene.

was steckt mathematisch dahinter?

Wurzelgnom · Accepted Answer

In Parameterform ist die Gleichung der Ebene:
(x;y;z) = (1;2;3) + s(4;5;6) + t(7;8;9)

Das bedeutet, dass A(1;2;3) ein Punkt in der Ebene ist, von dem aus die beiden Vektoren
->a(4;5;6) uns ->b(7;8;9) die Ebene aufspannen.

Dabei sind die Richtungsvektoren ->a(4;5,6) und ->b(7;8;9)
linear unabhängig.

Aber jeder Normalenvektor der Ebene (also ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht), muss zu beiden Vektoren orthogonal sein.
Also muss n(a,b;c) senkrecht auf ->a und ->b stehen.
Damit sind beide Skalarprodukte 0:
->a * n = 0 und ->b*n = 0
(4;5;6)*(a;b;c) = 4a + 5b + 6c = 0 und
(7;8;9)*(a;b;c) = 7a + 8b + 9c = 0

Du erhältst ein Gleichungssystem in zwei Gleichungen und drei Variablen.
Also kannst du eine Variable frei wählen.
Dann erhältst Du EINEN Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht (jeder Vielfach von n tut das auch)

Mit diesem Normalenvektor n(a,b;c) kannst Du die Gleichung einer Ebene aufstellen, die von den beiden Richtungsvektoren aufgespannt wird:
ax + by + cz = k
k ist dabei eine Konstante.
Welche, das kriegst Du raus, wenn Du die Koordinaten EINES Punktes einsetzt, der in dieser ebene liegt, also kannst Du A(1;2;3) dafür nehmen, denn von diesem Punkt wissen wir ja von Anfang an, dass er in dieser Ebene liegen soll.

@Ursula
PS
Konntest Du etwas mit meiner Antwort bzgl. der abelschen Gruppe aller Drehungen um O in der Ebene anfangen?
http://de.answers.yahoo.com/question/index;_ylt=AgFKrtm9RJ54YTO5kasaHN8ICgx.;_ylv=3?qid=20120510024217AAhSTBi

Wenn nicht, frag ruhig noch mal nach.
Ich erläutere das gerne auch ausführlicher.

asimov · Answer

vec(x)=(1,2,3)+s(4,5,6)+t(7,8,9)
das hier ist eine Ebene in Parameterform 
ich vermute du willst die in Normalform darstellen 

dazu gibt es mehrere wege 
einfachste ist mit determinante.

oder du nimmst  
x = 1 + 4s + 7t 
y = 2 + 5s + 8t
z = 3 + 6s + 9t 
eliminierst s und t 
hast dann eine gleichung mit x. y und z 
daraus kannst du leicht Normalform ableiten.

was du mit koordinantenform meinst verstehe ich nicht , falls achsenabschnittform sein soll , die kannst du dann aus normalform ableiten. falls du fragen hast kannst du gerne stellen

kann mir jemand dieses verfahren erklären(ebene: parameterform in koordinatform)?

2 Antworten