ist die menge aller drehungen im r2 um den koordinatenursprung eine abelsche gruppe?
bitte mit detailliertem lösungsweg. das ist übrigens keine hausaufgabe , sondern eine aufgabe aus einer matheklausur, die ich gerade geschrieben habe und bei der ich mir etwas unsicher bin:)
Wurzelgnom2012-05-10T03:19:13Z
Beste Antwort
JA
Beachte dabei aber, dass eine Drehung um phi identisch ist mit der Drehung um phi + k*360° mit k € Z
Sei G = Menge aller Drehungen um O bzgl der Verknüpfung + (Nacheinanderausführung)
(1) Die Nacheinanderausführung zweier Drehungen um O ist eine Drehung um O [Drehung um den Winkel phi 1 + Drehung um den Winkel phi 2 ist Drehung um den Winkel (phi 1 + phi 2)]
(2) Existenz des Neutralen: Die Drehung um 0° ist das neutrale Element
(3) Existenz des Inversen: Zu jeder Drehung um phi ist die Drehung um - phi das inverse Element Denn: Drehung um phi + Drehung um - phi = Drehung um (phi - phi) = Drehung um 0°
(4) Die Nacheinanderausführung von Drehungen um O ist assoziativ, denn (Drehung um phi 1 + Drehung um phi 2) + Drehung um phi 3 = Drehung um (phi 1 + phi 2) + Drehung um phi 3 = Drehung um [(phi 1 + phi2) + phi 3] = Drehung um [phi1 + (phi 2 + phi 3) = Drehung um phi 1 + Drehung um (phi 2 + phi3) = Drehung um phi 1 + (Drehung um phi2 + Drehung um phi 3)
Diese Gruppe ist abelsch, da die Drehung um phi 1 + Drehung um phi 2 = Drehung um (phi 1 + phi 2) = Drehung um (phi 2 + phi 1) = Drehung um phi 2 + Drehung um phi 1
*Anmerkung (2) und (3) lassen sich auch ersetzen durch die Eindeutigkeit der Umkehroperation
(Aber - wie bereits oben gesagt - gilt nur, wenn man unter einer Drehung um phi die Klasse aller Drehungen um phi + k*360° versteht)
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Na, hast Du eine Klausur in Lineare Algebra oder Gruppentheorie geschrieben? Man nennt diese Drehgruppe in der Mathematik eine 'spezielle orthogonale Gruppe' SO(n , |R) , n = 2 in Deinem Fall. Drehungen im euklidischen Raum werden durch Dreh- oder Rotationsmatrizen (orthogonale Matrizen mit reellen Einträgen) realisiert. Falls Du Lineare Algebra studierst, wird Dir mit Sicherheit Einiges in diesem Artikel von Wikipedie bekannt vorkommen: http://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix http://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix#Drehmatrix_der_Ebene_R.C2.B2
Oder schau mal hier http://de.wikipedia.org/wiki/Drehgruppe http://de.wikipedia.org/wiki/Spezielle_orthogonale_Gruppe http://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonale_Matrix
Ich denke, wenn Du jetzt weißt, worum es geht, wirst Du mit Sicherheit die Axiome einer Gruppe nachweisen können. Ich wünsche Dir eine sehr gute Note in Deiner Klausur.