ist die menge aller drehungen im r2 um den koordinatenursprung eine abelsche gruppe?

JA

Beachte dabei aber,

dass eine Drehung um phi identisch ist mit der Drehung um phi + k*360° mit k € Z

Sei G = Menge aller Drehungen um O bzgl der Verknüpfung + (Nacheinanderausführung)

(1) Die Nacheinanderausführung zweier Drehungen um O ist eine Drehung um O

[Drehung um den Winkel phi 1 + Drehung um den Winkel phi 2 ist Drehung um den Winkel (phi 1 + phi 2)]

(2) Existenz des Neutralen:

Die Drehung um 0° ist das neutrale Element

(3) Existenz des Inversen:

Zu jeder Drehung um phi ist die Drehung um - phi das inverse Element

Denn:

Drehung um phi + Drehung um - phi = Drehung um (phi - phi) = Drehung um 0°

(4) Die Nacheinanderausführung von Drehungen um O ist assoziativ,

denn

(Drehung um phi 1 + Drehung um phi 2) + Drehung um phi 3 =

Drehung um (phi 1 + phi 2) + Drehung um phi 3 =

Drehung um [(phi 1 + phi2) + phi 3] =

Drehung um [phi1 + (phi 2 + phi 3) =

Drehung um phi 1 + Drehung um (phi 2 + phi3) =

Drehung um phi 1 + (Drehung um phi2 + Drehung um phi 3)

Diese Gruppe ist abelsch, da

die Drehung um phi 1 + Drehung um phi 2 =

Drehung um (phi 1 + phi 2) =

Drehung um (phi 2 + phi 1) =

Drehung um phi 2 + Drehung um phi 1

*Anmerkung

(2) und (3) lassen sich auch ersetzen durch die Eindeutigkeit der Umkehroperation

(Aber - wie bereits oben gesagt - gilt nur, wenn man unter einer Drehung um phi die Klasse aller Drehungen um phi + k*360° versteht)

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Ich benutze es für etwa 2 Jahren und hat so viel gewonnen, ich einen Freund jetzt alles tun wir geraten hatte! praktisch alle Leute die ich kenne verwenden :)

Hallo Ursula!

Na, hast Du eine Klausur in Lineare Algebra oder Gruppentheorie geschrieben? Man nennt diese Drehgruppe in der Mathematik eine 'spezielle orthogonale Gruppe' SO(n , |R) , n = 2 in Deinem Fall. Drehungen im euklidischen Raum werden durch Dreh- oder Rotationsmatrizen (orthogonale Matrizen mit reellen Einträgen) realisiert. Falls Du Lineare Algebra studierst, wird Dir mit Sicherheit Einiges in diesem Artikel von Wikipedie bekannt vorkommen:

http://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix

http://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix#Drehmatrix...

Oder schau mal hier

http://de.wikipedia.org/wiki/Drehgruppe

http://de.wikipedia.org/wiki/Spezielle_orthogonale...

http://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonale_Matrix

Ich denke, wenn Du jetzt weißt, worum es geht, wirst Du mit Sicherheit die Axiome einer Gruppe nachweisen können.

Ich wünsche Dir eine sehr gute Note in Deiner Klausur.

Gruß