Wie berechne ich hier die Stammfunktion mittels Substitution?
die Funktion lautet f(x)=(5x^2 +x)/(2x-1)
ich habe leider keine Ahnung, was ich substituieren soll. Die Aufgabenstellung verlangt aber genau das! Vielen Dank schonmal für die Hilfe:)
die Funktion lautet f(x)=(5x^2 +x)/(2x-1)
ich habe leider keine Ahnung, was ich substituieren soll. Die Aufgabenstellung verlangt aber genau das! Vielen Dank schonmal für die Hilfe:)
Andy
Beste Antwort
Hallo Ursela!
Stichwort: Partialbruchzerlegung! Sagt Dir das was?
http://www.wolframalpha.com/input/?i=patialfraction+%285x^2+%2Bx%29%2F%282x-1%29
Man zerlegt diesen Bruch in drei Brüche
(5x² + x)/(2x - 1) = (5x)/2 + 7/(4 (2 x-1)) + 7/4
Wenn Du die drei Brüche auf den gleichen Hauptnenner bringst, erhälst Du wieder den einen Ausgangsbruch ( 5x² + x)/(2x - 1)
Und nun den mittleren Bruch mittels Substitution integrieren
ʃ (5x)/2 dx + ʃ 7/(4 (2 x-1)) dx + ʃ 7/4 dx
Die anderen beiden Brüche werden Dir mit Sicherheit keine Probleme bereiten. Deswegen integriere ich den mittleren Bruch mit Substution u = 2x - 1
du/dx = 2 => dx = du/2
ʃ 7/(4 (2 x-1)) dx = ʃ 7/(4 (u)) * 1/2 du = 7/8 ʃ 1/u du = 7/8 ln | u | + C = 7/8 ln | 2x - 1| + C
insgesamt erhält man
ʃ (5x)/2 dx + ʃ 7/(4 (2 x-1)) dx + ʃ 7/4 dx =
(7x)/4 + 1/4 (5 x²) + 7/8 ln | 2x - 1 | + C
auf den gleichen Nenner gebracht, ergibt das
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integral+%285x^2+%2Bx%29%2F%282x-1%29
wobei log für ln steht
Falls Du Fragen hast, nur zu....
Gruß
matherwig
Ich würde einmal die Polynomdivision durchführen und dann für 2x-1 substituieren.