Wie berechne ich hier die Stammfunktion mittels Substitution?

Question

die Funktion lautet f(x)=(5x^2 +x)/(2x-1)

ich habe leider keine Ahnung, was ich substituieren soll. Die Aufgabenstellung verlangt aber genau das! Vielen Dank schonmal für die Hilfe:)

Andy · Accepted Answer

Hallo Ursela!


Stichwort:  Partialbruchzerlegung!  Sagt Dir das was?
http://www.wolframalpha.com/input/?i=patialfraction+%285x^2+%2Bx%29%2F%282x-1%29
Man zerlegt diesen Bruch in drei Brüche


(5x² + x)/(2x - 1) = (5x)/2 + 7/(4 (2 x-1)) + 7/4
Wenn Du die drei Brüche auf den gleichen Hauptnenner bringst, erhälst Du wieder den einen Ausgangsbruch ( 5x² + x)/(2x - 1)

Und nun den mittleren Bruch mittels Substitution integrieren


 ʃ (5x)/2 dx + ʃ 7/(4 (2 x-1)) dx +  ʃ 7/4 dx


Die anderen beiden Brüche werden Dir mit Sicherheit keine Probleme bereiten. Deswegen integriere ich den mittleren Bruch mit Substution u = 2x - 1 
du/dx =  2 => dx = du/2

 ʃ 7/(4 (2 x-1)) dx =   ʃ 7/(4 (u)) * 1/2 du = 7/8 ʃ 1/u du = 7/8 ln | u | + C = 7/8 ln | 2x - 1| + C
 
insgesamt erhält man

 ʃ (5x)/2 dx + ʃ 7/(4 (2 x-1)) dx +  ʃ 7/4 dx = 
 (7x)/4 + 1/4 (5 x²) + 7/8 ln | 2x - 1 | + C


auf den gleichen Nenner gebracht, ergibt das
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integral+%285x^2+%2Bx%29%2F%282x-1%29
wobei log für ln steht

Falls Du Fragen hast, nur zu....



Gruß

matherwig · Answer

Ich wÃ¼rde einmal die Polynomdivision durchfÃ¼hren und dann fÃ¼r 2x-1 substituieren.

Wie berechne ich hier die Stammfunktion mittels Substitution?

2 Antworten