Beweise: B = In - A (B, A Matrizen, In die Einheitsmatrix) ist invertierbar.?

Question

Sei A quadratisch mit n Zeilen/ Spalten. Es gibt ein r aus N (natürliche Zahlen) für das gilt:
A^r = 0 (A hoch r = die Nullmatrix).

Beweise: B = In - A ist invertierbar.
In ist die Einheitsmatrix mit n Zeilen/ Spalten


Wer hat einen Tipp? Zermartere mir schon seit Stunden den Kopf und mag langsam nicht mehr -.- :(

Danke :-)

Andy · Accepted Answer

Hallo Ludi!

Dass B invertierbar ist, kann man eigentlich ganz einfach nachweisen:

Sei B = (In - A) und es gibt ein r aus |N, sodass A^r = 0 <-- die Nullmatrix. Nun multipliziert man (von rechts) folgende Summe von Matrizen

S = (ln + A + A² + A³ + ...+ A^(r-1))
Also

B * S = (ln - A) * S
B * S = (ln - A) * (ln + A + A² + A³ + ...+ A^(r-1) )
ausmultiplizieren
B * S = ln + A + A² + A³ + ...+ A^(r-1) - A - A² - A³ - ... - A^(r-1) - A^r

Die Summanden A, A², A³ , ... , A^(r-1) fallen raus, man erhält

B * S = ln - A^r = ln

Da A^r = 0 , die Nullmatrix

B * S = ln - 0 = ln
Das bedeutet, es gibt eine Matrix S, die multpliziert mit der Matrix B, die Einheitsmatrix ln ergibt. Daraus folgt, dass B invertierbar ist, mit S * B = ln und S ist die zu B inverse Matrix B⁻¹ (=S)
( Beweis für die letzte Folgerung: Nach dem Determinaten-Multiplikationssatz gilt:
det(B) * det(S) = det(ln) = 1
Die Det der Einheitsmatrix ist = 1 => Es MUSS gelten: det(B)≠0 UND det(S)≠0
=> B und S sind invertierbar.)

Das ist nur eine Möglichkeit zu zeigen, dass B = (In - A) invertierbar ist, wenn es ein r aus |N gibt mit A^r=0. Diese Matrizen A, mit dieser besonderen Eigenschaft, nennt man nilpotent. Siehe vielleicht auch mal bei Wikipedia.
A ist nilpotent <=> Äquivalente Aussagen/Definitionen mit denen man auch die Invertierbarkeit von B nachweisen kann:
http://de.wikipedia.org/wiki/Nilpotente_Matrix

Gruß

Beweise: B = In - A (B, A Matrizen, In die Einheitsmatrix) ist invertierbar.?

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