Lösung des Integrals?

Question

Morgen,
ich bin gerade beim nachvollziehen der Berechnung des Massenträgheitsmoments eines Zylinders (steht in z-Richtung) umd die y-Achse.
(S für Integral)
angefangen hab ich damit:
Iy=S(r^2)dm
erste Frage: Wenn ich das umbaue komme ich auf [rho]*SSS(x^2 + y^2)dx dy dz
Soweit so gut, jetzt soll das ganze in polarkoordinaten umgerechnet werden, was dann folgendes wäre:
[rho]*SSS(r^2* cos^2([phi])* r)dr d[phi] dz   meine frage dabei, woher kommt dieses "r" beim dr, ich  werd aus der Erklärung nicht ganz schlau die ich hier habe.

aber angenommen ich hab das so akzeptiert dann integriert es sich fein bis zum diesem Punkt:
(t steht für die Dicke einer Zylinderscheibe, nach dz integriert)
...=[rho]* SSS(r^3 *cos^2([phi]))dr d[phi] dz=
...=[rho]*t*SS(r^3 *cos^2([phi]))dr d[phi]    
so, hier beginnt der Spaß, das cos^2() integrieren ist nicht das problem, das mach ich über eine Formel, aber dann wirds für mich mystisch.
dann steht da nämlich:
=[rho]*t*[pi]* S(r^3) dr..... wohin ist der cosinus verschwunden, hab ich da jetzt einfach einen enormen denkfehler oder ist da was faul?
rauskommen tut dann zum Schluss schon das richtige ergebnis (der cosinus muss iwie weck, ich kanns mir nur icht erklären) Iy= MR^2 /4

Danke schon mal für die Antwort(en)

jeffrey · Accepted Answer

Du hast aber den Massentraegheitsmoment um die z-Achse berechnet. Um die 
y-Achse …. Iy = ρ ∫∫∫ ( x ² + z ² ) d V =  ρ ∫∫∫ x ² d V + ρ ∫∫∫ z ² d V …… soll es 
wirklich sein …… in zylindrischem Koordinatensystem …… d V = r d r d θ d z …
wobei  …… r d r d θ = ( r d θ ) dr = Laenge (Bogenlaenge) mal Breite = Flaeche
( d x d y ) in Polarkoordinaten …… Das heisst also ……
…… Iy = ρ ∫∫∫ ( r cos θ ) ² r d r d θ d z + ρ ∫∫∫ z ² r d r d θ d z

………..….. R ………. 2π ………. + L /2 ……. R ……. 2π …+ L /2
…… Iy = ρ [ ∫ r ³ d r ] [ ∫ cos ² θ d θ ] ∫ d z + ρ [ ∫ r d r ] [ ∫ d θ ] ∫ z ² d z
………..….. 0 ………. 0 ………... - L /2 ……... 0 …….. 0 ... - L /2

…… Iy = ρ [ ¼ R ⁴ ] [ π ] [ L ] + ρ [ ½ R ² ] [ 2π ] [ 2 ( ⅓ ) ( ⅛ ) L ³ ]
……… = ρ [ ¼ R ² R ²  ] [ π ] [ L ] + ρ [ R ² ] [ π ] [ ( ¹/₁₂ ) L ³ ]
……… = ¼ ρ [ π R ² L ] R ² + ( ¹/₁₂ ) ρ [ π R ² L ] L ²
……… = ¼ M R ² + ( ¹/₁₂ ) M L ²
wobei  …… M = ρ [ π R ² L ] ……
Tschuss!

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