Wo hat der Graph der Funktion eine Tangente parallel zur Geraden g?

Beste Antwort

Erstmal das benoetigte Grundwissen:
- Zwei Geraden sind genau dann parallel, wenn sie die selbe Steigung haben.
- Die Tangente von einer Funktion f in einem Punkt x, ist eine Gerade durch den Punkt x mit der Steigung der Funktion f im Punkt x.
- Die Steigung einer Funktion Entspricht ihrer Ableitung.

Und jetzt auf die Frage angewendet:
Steigung der Tangente = Steigung der Geraden g
f'(x) = g'(x);
1/2 *x = 2;
x = 4;

y = f(x = 4) = 1/4 * 4² = 4;

Du musst noch zeigen, dass die Gerade durch P = (4, 4) mit der Steifung f'(4) = 2 auch wirklich eine Tangente von f(x) ist.
In diesem Fall ist das trivial, weil f(x) ja eine Parabell ist, die bekanntlich keinen Wendepunkt hat.
Aber allgemein musstest du dir schon noch die Kruemmung anschauen. Sprich die Steigung von der Steigung:
f''(x) = 1/2 (= konst. ungleich 0)
Damit ist bewiesen, dass es sich um eine Tangente handelt.

Dein wo ist also der Punkt P = (4, 4).

(Wenn es so einen Punkt nicht gegeben haette, hattest du die Leere Menge {} als Loesung angeben muessen.)...Mehr anzeigen

@txtsxm

Was Du zum "Beweis", dass es wirklich die Tangente ist, gesagt hast, ist - pardon - Quatsch mit Soße.

Auch wenn da ein Wendepunkt vorliegen würde, wäre die Gerade durch den Punkt Po(xo|yo) mit dem Anstieg f '(xo) Tangente an den Graf der Funktion.
Dann eben die Wendetangente - sowas gibt's nämlich, wenn auch nicht bei Parabeln.
In einem solchen Fall würde die Tangente dann DURCH das Bild der Funktion hindurchgehen. Das ist KEIN Widerspruch, auch wenn TANGENTE "die Berührende" heißt (von tangere - lat. "berühren")...Mehr anzeigen

Diese "schwierige" Aufgabe löst man, indem man die Funktion ableitet

f´(x) = 1/2x

Die Ableitung gibt dir für jede x-Stelle die entsprechende Steigung der Funktion an, wenn du den x-Wert einsetzt.

Da die Geradengleichung der Tangente die Steigung m = 2 hat, muss der f´(x)-Wert auch 2 sein. Und das ist genau an der Stelle x = 4 der Fall.

2 = 1/2*x...Mehr anzeigen

Ansatz ist y = mx + n

Man sieht, dass g(x) die Steigung m= 2 hat => die Tangente demnach auch, denn sie soll ja parallel sein.

Jetzt sind wir also bei y = 2x + n

Jetzt müssen wir noch herausfinden, an welchem Punkt f(x) diese Steigung hat:
f'(x) = 1/2 x

f'(x) = 2
1/2x = 2 | : 1/2
x = 4

f(4) = 1/4 * 16 = 4

Also läuft die Tangente an f durch P(4|4). Zurück zur Parallelen. WIr waren bei
y = 2x + n
und setzen P ein:
4 = 2*4 + n
4 = 8 + n | -8
-4 = n

Damit lautet die Gleichung der Tangente
y = 2x -4...Mehr anzeigen

f '(x) = 2

löse nach x auf und du erhälst die stelle.

erläuterung:
die steigung des graphen an der stelle x soll gleich der steigung von g(x) sein, also = 2

@ dimka: dein taschenrechner muss aber unglaublich toll sein, wenn er dir den lösungsweg erklärt.
duh...Mehr anzeigen