Ich habe 120 Dosen. Jede Dose ist 14,4 cm hoch. Ich soll zwei dreieckige Türme bauen die maximal 1,50 m hoch sind. Wie viele Dosen stehen in der unteren Reihe. Bitte mit Rechenschritten. Danke!
2008-09-17T01:17:53Z
Danke für die ersten Antworten. Leider ist das nicht die gesuchte Lösung. Ist leider etwas schwieriger oder so leicht, dass ich einfach nicht drauf komme. Die Aufgabe muss aber glatt aufgehen.
2008-09-17T01:20:12Z
Vielleicht lässt sich da mit einer von beiden Dreiecken genutzten Dose oder Reihe etwas machen? Ich komm einfach nicht drauf.
2008-09-17T09:18:28Z
Es ist nicht vorgegeben, dass die Türme gleich groß sein müssen.
asimov2008-09-17T15:04:07Z
Beste Antwort
also DREIECKIG darunter verstehe ich nur sowas .........D........ ........DD...... .......DDD..... ......DDDD.... usw. die anzahl alle dosen die man braucht in abhängigkeit von höhe des turmes "n" ergibt n(n+1)/2 ausserdem ist klar daß n kleiner als 11 sein soll
hier die tabelle n.. unterste reihe ..alle dosen 1..........1...................1 2...........2..................3 3...........3..................6 4...........4..................10 5...........5..................15 6...........6...................21 7...........7...................28 8...........8...................36 9...........9...................45 10.........10..................55
und selbst wenn wir 2 10er turme bauen ergibt 110 dosen und bleiben 10 übrig.
wenn aber da was übrig bleiben kann, dann max steht unten je 10 dosen , also max 20 und minimum 2.
wenn wir max höhe weglassen , dann hätten wir ein eindeutige ergebnis nämlich 11 .......11 ........66 12........12.........78 13........13.........91 14........14........105 eine mit 14 unten und eine mit 5 unten.=19
Und jetzt habe ich soooooooone schöne Lösung. Die hat leider nur eine Macke: Der eine der beiden Türme ist a bisserl zu hoch.
Kann man - bei einer sonst genialen Lösung - nicht über eine solche Kleinigkeit mal hinwegsehen????
Also: Ich stelle unten 20 Dosen hin. Auf die ersten 11 baue ich eine Pyramide aus insgesamt (leider) 11 Reihen. Die 11. Dose ist gleichzeitig die erste Dose für die nächste Pyramide. Diese kriegt aber im Ganzen nur 10 Reihen.
Damit hätte die erste Pyramide 66 Dosen, die zweite 55. Aber die 11. Dose habe ich dabei doppelt gezählt. Sind also doch genau 120.
Mensch, die paar Zentimeter... Musste so pingelich sein? =(
Wow Ich hab's!!!! Wer sagt denn, dass die Dosen STEHEN müssen??? Du sollst zwei Türme BAUEN? Na, da bleibe ich bei meiner Anordnung, und LEGE die Dosen hin. Musste nur am Rand was dagegenstellen, dass die seitlich nicht wegkullern können. Und die nächste Reihe immer schön in die Rillen legen.
Und so groà wird ihr Durchmesser ja nun nicht sein, dass wir bei 11 Reihen über 1,50 m kommen.
Betrachte jeden Turm einzeln: definiere x_n = Anzahl Dosen in Reihe n (Reihe 1 := oberste Reihe). Die "dreieckige" Formation (gehe davon aus, es sollte wie ein Tetraeder aussehen, wobei der waagerechte Querschnitt ein gleichseitiges Dreieck ähnelt) impliziert: x_1 = 1, x_2 = 3, x_3 = 6, usw. oder im allg. : x_i - x_{i-1} = i, x_1 =1 ---> x_i = Sum_{k=1 to i} [i] = i*(i+1)/2. Es sei M die Anzahl Reihen von einem Turm (gehe davon aus, beide Turme sind gleich gestaltet) und S(M) die Gesamtanzahl Dosen von beiden Turmen. Dann folgt: S(M) = 2*Sum_{i=1 to M} [i*(i+1)/2] = Sum_{i=1 to M} [i^2 + i] = (1/6)*M*(M+1)*(2M+1) + (1/2)*M*(M+1) = (1/6)*M*(M+1)*[(2M+1) + 3] ==> S(M) = (1/3)*M*(M+1)*(M+2). Es sind 120 Dosen (gegeben). Damit muss S(M) < 120 gelten.
Vermutlich sollte auch die maximale Anzahl von Dosen verwendet werden, d.h. wir suchen M damit 120-S(M) minimal aber positiv ist.
Wir haben S(1) = 2, S(2) = 8, S(3) = 20, S(4) = 40, S(5) = 70, S(6) = 112, S(7) = 168, und da S(M) klar monoton steigend ist, folgt es dass: M = 6 der gesuchte Wert ist.
Damit gibt es 2*[M*(M+1)/2]_{M=6} = 2*6*7/2 = 42 Dosen an der unstersten Reihe.
NB Die andere Beschränkung bzgl. Höhe ist hier erfüllt, da 6*14,4 < 150 ist.