Wie viele Dosen stehen in der unteren Reihe?

also DREIECKIG

darunter verstehe ich nur sowas

.........D........

........DD......

.......DDD.....

......DDDD....

usw.

die anzahl alle dosen die man braucht in abhängigkeit von höhe des turmes "n" ergibt n(n+1)/2

ausserdem ist klar daß n kleiner als 11 sein soll

hier die tabelle

n.. unterste reihe ..alle dosen

1..........1...................1

2...........2..................3

3...........3..................6

4...........4..................10

5...........5..................15

6...........6...................21

7...........7...................28

8...........8...................36

9...........9...................45

10.........10..................55

und selbst wenn wir 2 10er turme bauen ergibt 110 dosen und bleiben 10 übrig.

wenn aber da was übrig bleiben kann, dann

max steht unten je 10 dosen , also max 20 und minimum 2.

wenn wir max höhe weglassen , dann hätten wir ein eindeutige ergebnis nämlich

11 .......11 ........66

12........12.........78

13........13.........91

14........14........105

eine mit 14 unten und eine mit 5 unten.=19

mit 120 dosen ist es nicht möglich 2 dreiecke mit einer dose in der spitze zu bilden

alles andere das hier dargestellt wurde sind aber keine dreiecke (obere reihe 4 dosen)

daher nur möglich, wenn man weniger als 120 dosen benutzt

Sollen die beiden Türme identisch sein oder können das verschieden hohe Türme sein?

Und jetzt habe ich soooooooone schöne Lösung.

Die hat leider nur eine Macke:

Der eine der beiden Türme ist a bisserl zu hoch.

Kann man - bei einer sonst genialen Lösung - nicht über eine solche Kleinigkeit mal hinwegsehen????

Also:

Ich stelle unten 20 Dosen hin.

Auf die ersten 11 baue ich eine Pyramide aus insgesamt (leider) 11 Reihen.

Die 11. Dose ist gleichzeitig die erste Dose für die nächste Pyramide. Diese kriegt aber im Ganzen nur 10 Reihen.

Damit hätte die erste Pyramide 66 Dosen, die zweite 55.

Aber die 11. Dose habe ich dabei doppelt gezählt.

Sind also doch genau 120.

Mensch, die paar Zentimeter...

Musste so pingelich sein?

=(

Wow

Ich hab's!!!!

Wer sagt denn, dass die Dosen STEHEN müssen???

Du sollst zwei Türme BAUEN?

Na, da bleibe ich bei meiner Anordnung, und LEGE die Dosen hin.

Musste nur am Rand was dagegenstellen, dass die seitlich nicht wegkullern können.

Und die nächste Reihe immer schön in die Rillen legen.

Und so groß wird ihr Durchmesser ja nun nicht sein, dass wir bei 11 Reihen über 1,50 m kommen.

Und nu will ich 10 Punkte sehen!!!!!

;-))

Betrachte jeden Turm einzeln:

definiere x_n = Anzahl Dosen in Reihe n (Reihe 1 := oberste Reihe).

Die "dreieckige" Formation (gehe davon aus, es sollte wie ein Tetraeder aussehen, wobei der waagerechte Querschnitt ein gleichseitiges Dreieck ähnelt) impliziert:

x_1 = 1, x_2 = 3, x_3 = 6, usw. oder im allg. :

x_i - x_{i-1} = i, x_1 =1

---> x_i = Sum_{k=1 to i} [i] = i*(i+1)/2.

Es sei M die Anzahl Reihen von einem Turm (gehe davon aus, beide Turme sind gleich gestaltet) und S(M) die Gesamtanzahl Dosen von beiden Turmen. Dann folgt:

S(M) = 2*Sum_{i=1 to M} [i*(i+1)/2]

= Sum_{i=1 to M} [i^2 + i]

= (1/6)*M*(M+1)*(2M+1) + (1/2)*M*(M+1)

= (1/6)*M*(M+1)*[(2M+1) + 3]

==> S(M) = (1/3)*M*(M+1)*(M+2).

Es sind 120 Dosen (gegeben). Damit muss S(M) < 120 gelten.

Vermutlich sollte auch die maximale Anzahl von Dosen verwendet werden, d.h. wir suchen M damit 120-S(M) minimal aber positiv ist.

Wir haben S(1) = 2, S(2) = 8, S(3) = 20, S(4) = 40, S(5) = 70, S(6) = 112, S(7) = 168,

und da S(M) klar monoton steigend ist, folgt es dass:

M = 6 der gesuchte Wert ist.

Damit gibt es 2*[M*(M+1)/2]_{M=6} = 2*6*7/2 = 42 Dosen an der unstersten Reihe.

NB Die andere Beschränkung bzgl. Höhe ist hier erfüllt, da 6*14,4 < 150 ist.

Unten stellst du 20 Dosen hin

darauf 16

darauf 12

darauf 8

darauf 4

gibt zusammen 60 Dosen pro Turm

Somit sind alle Kriterien in deiner Frage erfüllt!

Die Idee mit der Zeichnung von Rauchers wollte ich hier noch einfügen um mein Modell anschaulicher zu präsentieren.

Zeichnet man nun entlang der Seiten dieses gleichschenkeligen Dreiecks von links unten nach oben und von rechts unten nach oben eine Linie, dann wird das Dreieck klar und man sieht, dass das Dreieck nicht unbedingt in einer Dose enden muss. Selbst die Dose ist nicht spitz. Man kann sich auch ein Pixel vorstellen, wenn man die vergrössert sind sie auch nicht spitz sondern immer eckig.

------------------DDDD

-------------DDDDDDDD

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Nun zur nachträglich erwähnten Möglichkeit, 2 verschiedene Türme.

Ein Turm mit 19 Dosen unten und einer mit 8 Dosen.

-------------------D 1Dose

----------------DDD 3

--------------DDDDD 5

------------DDDDDDD 7

----------DDDDDDDDD 9

--------DDDDDDDDDDD 11

------DDDDDDDDDDDDD 13

----DDDDDDDDDDDDDDD 15

--DDDDDDDDDDDDDDDDD 17

DDDDDDDDDDDDDDDDDDD 19

zusammen 100 Dosen

ein zweiter Turm mit 20 Dosen:

-------DD 2 Dosen

-----DDDD 4

---DDDDDD 6

-DDDDDDDD 8

zusammen 20 Dosen

Turm 1 + 2 insgesamt 120 Dosen

In der unteren stehen jeweils 11 Dosen!

Erstmal verteilst du die 120 auf 2 Türme. Das sind dann 2x 60 Dosen.

Nun die Maximalhöhe 150 durch 14,4 = ~ 10. Also dürfen es maximal 10 sein.

Rechnet man nun rückwärts 11+10+9+8+...+4 kommst du auf exakt 60. Ganz oben stehen je 4 Dosen auf den Türmchen.

11 Dosen stehen jeweils in der untersten Reihe

(Bleiben aber 2 Dosen übrig-sonst gehts nicht)

Rechenschritte? - Hab ich jetzt schnell mal im Kopf gerechnet, ohne große Formel, eher so mit der "trial and error Methode")

(Ich hoffe es stimmt so "einigermaßen":-)))))