Geradengleichungen zu einer Gleichung mit dem Abstand 7,5 (s. Details)?
Ich scheitere momentan an einer Aufgabe zum Thema Vektorrechnung. Gegeben ist eine Geradengleichung: g:Vektor(x) = Vektor(-4;4;7) + s * Vektor(1;-1;1), sprich Stützvektor mit den Koordinaten (-4/4/7) und Richtungsvektor mit den Koordinaten (1/-1/1). Ich suche nun zwei neue Geradengleichungen, die parallel zu dieser Geraden sind und zu ihr den Abstand 7,5 haben, also sowohl eine "unter" und eine "über" der angegebenen Geradengleichung. Den Richtungsvektor könnte ich ja übernehmen, also suche ich nur zwei neuen Stützvektor, oder? Aber wie errechne ich sie? Vielen Dank im Voraus
dinos2008-08-31T19:08:06Z
Beste Antwort
Hi,
habt ihr in der Schule das Thema "Normalenvektor" schon behandelt?
Eine Gerade ist gegeben mit Stützpunkt S = ( -4 ; 4 ; 7 ) und Richtungsvektor R = ( 1 ; -1 ; 1 ) in der Form X = S + t R.
Gesucht sind zwei parallele Geraden im Abstand d = 7.5 über und unter der gegebenen Gerade. Es sind also zwei Bedingungen zu erfüllen (a) der Abstand 7.5 und (b) die Richtung "oberhalb/unterhalb".
Alle Geraden sollen parallel sein. Also kann für alle Geraden der Richtungsvektor R = ( 1 ; -1 ; 1 ) benutzt werden.
Es muss noch ein Stützpunkt P1 oberhalb und ein Stützpunkt P2 unterhalb der Gerade bestimmt werden. Also der Ansatz
P = S + ( 0 ; 0 ; z ) mit einem z aus R. Dabei wurde angenommen, dass mit oberhalb/unterhalb die Z-Richtung gemeint ist.
Der Abstand der Stützpunkte P1, P2 zur Geraden muss d sein. Ist der Abstand eines Punkts zweier paralleler Gerade gleich d, so ist der Abstand der beiden Geraden gleich d.
Der Abstand eines Punkts P von der Geraden S + t R berechnet sich aus dem Abstand des FuÃpunkts F auf der Geraden zum Punkt P. (Der FuÃpunkt F wird auch Lotpunkt oder LotfuÃpunkt genannt.) Der FuÃpunkt F ist der Punkt auf der Geraden, der die kleinste Entfernung zum Punkt P hat.
Für den FuÃpunkt gilt F = S + f R mit f = (P-S) * R / ||R||² Dabei steht * für das Skalarprodukt und ||.|| für die Norm. (Ich gehe davon aus, dass die Formel im Unterricht bereits gegeben wurde.)
P-S = S + ( 0 ; 0 ; z ) - S P-S = ( 0 ; 0 ; z ) (P-S) * R = ( 0 ; 0 ; z ) * ( 1 ; -1 ; 1 ) (P-S) * R = z
||R||² = || ( 1 ; -1 ; 1 ) ||² ||R||² = 3
f = (P-S) * R / ||R||² f = z / 3
F = S + f R F = S + (z/3) R
Der Abstand von FuÃpunkt F zum Punkt P muss d = 7.5 sein. d = || F - P || d = || S + (z/3) R - ( S + ( 0 ; 0 ; z ) ) || Aus dieser Gleichung kann z berechnet werden. d = || S + (z/3) R - S - ( 0 ; 0 ; z ) || d = || (z/3) R - ( 0 ; 0 ; z ) || d = || (z/3) ( 1 ; -1 ; 1 ) - ( 0 ; 0 ; z ) || d = || ( z/3 ; -z/3 ; z/3 ) - ( 0 ; 0 ; z ) || d = || ( z/3 ; -z/3 ; -2z/3 ) || d = | z | * || ( 1/3 ; -1/3 ; -2/3 ) || d = | z | * Wurzel( 6/9 ) d = | z | * Wurzel( 2/3 ) z = + d Wurzel( 3/2 ) oder z = - d Wurzel( 3/2 ) z = +7.5 Wurzel( 3/2 ) oder z = -7.5 Wurzel( 3/2 )
Die beiden Stützpunkte sind also P = S + ( 0 ; 0 ; z ) P1 = S + ( 0 ; 0 ; +7.5 Wurzel( 3/2 ) ) P1 = ( -4 ; 4 ; 7 ) + ( 0 ; 0 ; +7.5 Wurzel( 3/2 ) ) P1 = ( -4 ; 4 ; 7 + 7.5 Wurzel( 3/2 ) ) P1 = ( -4 ; 4 ; 16.18559 )
Es gibt unendlich viele Geraden, die diese Bedingung erfüllen. Alle Geraden mit dem gleichen Richtungsvektor im Abstand 7.5 von der Geraden erfüllen diese Bedingung.