Geradengleichungen zu einer Gleichung mit dem Abstand 7,5 (s. Details)?

Question

Ich scheitere momentan an einer Aufgabe zum Thema Vektorrechnung. 
Gegeben ist eine Geradengleichung:
g:Vektor(x) = Vektor(-4;4;7) + s * Vektor(1;-1;1), 
sprich Stützvektor mit den Koordinaten (-4/4/7) und Richtungsvektor mit den Koordinaten (1/-1/1). 
Ich suche nun zwei neue Geradengleichungen, die parallel zu dieser Geraden sind und zu ihr den Abstand 7,5 haben, also sowohl eine "unter" und eine "über" der angegebenen Geradengleichung.
Den Richtungsvektor könnte ich ja übernehmen, also suche ich nur zwei neuen Stützvektor, oder?
Aber wie errechne ich sie?
Vielen Dank im Voraus

dinos · Accepted Answer

Hi,

habt ihr in der Schule das Thema "Normalenvektor" schon behandelt?

Hier eine Lösungsmöglichkeit:

http://img523.imageshack.us/img523/241/clever25dh4.png


Skizze (sorry, schlechte Qualität)

http://img505.imageshack.us/img505/8619/clever25ly7.jpg


Skizze (3D, gleichschlechte Qualität)

http://img521.imageshack.us/img521/8702/skizze3doq5.jpg


MfG

dinos

Anonym · Answer

Eine Gerade ist gegeben mit StÃ¼tzpunkt S = ( -4 ; 4 ; 7 ) und Richtungsvektor R = ( 1 ; -1 ; 1 ) in der Form X = S + t R.

Gesucht sind zwei parallele Geraden im Abstand d = 7.5 Ã¼ber und unter der gegebenen Gerade. Es sind also zwei Bedingungen zu erfÃ¼llen (a) der Abstand 7.5 und (b) die Richtung "oberhalb/unterhalb".

Alle Geraden sollen parallel sein. Also kann fÃ¼r alle Geraden der Richtungsvektor R = ( 1 ; -1 ; 1 ) benutzt werden.

Es muss noch ein StÃ¼tzpunkt P1 oberhalb und ein StÃ¼tzpunkt P2 unterhalb der Gerade bestimmt werden. Also der Ansatz

P = S + ( 0 ; 0 ; z ) mit einem z aus R.
Dabei wurde angenommen, dass mit oberhalb/unterhalb die Z-Richtung gemeint ist.

Der Abstand der StÃ¼tzpunkte P1, P2 zur Geraden muss d sein. Ist der Abstand eines Punkts zweier paralleler Gerade gleich d, so ist der Abstand der beiden Geraden gleich d.

Der Abstand eines Punkts P von der Geraden S + t R berechnet sich aus dem Abstand des FuÃpunkts F auf der Geraden zum Punkt P. (Der FuÃpunkt F wird auch Lotpunkt oder LotfuÃpunkt genannt.) Der FuÃpunkt F ist der Punkt auf der Geraden, der die kleinste Entfernung zum Punkt P hat.

FÃ¼r den FuÃpunkt gilt
F = S + f R mit f = (P-S) * R / ||R||Â²
Dabei steht * fÃ¼r das Skalarprodukt und ||.|| fÃ¼r die Norm. (Ich gehe davon aus, dass die Formel im Unterricht bereits gegeben wurde.)

P-S = S + ( 0 ; 0 ; z ) - S
P-S = ( 0 ; 0 ; z )
(P-S) * R = ( 0 ; 0 ; z ) * ( 1 ; -1 ; 1 )
(P-S) * R = z

||R||Â² = || ( 1 ; -1 ; 1 ) ||Â²
||R||Â² = 3

f = (P-S) * R / ||R||Â²
f = z / 3

F = S + f R
F = S + (z/3) R

Der Abstand von FuÃpunkt F zum Punkt P muss d = 7.5 sein.
d = || F - P ||
d = || S + (z/3) R - ( S + ( 0 ; 0 ; z ) ) ||
Aus dieser Gleichung kann z berechnet werden.
d = || S + (z/3) R - S - ( 0 ; 0 ; z )  ||
d = || (z/3) R - ( 0 ; 0 ; z )  ||
d = || (z/3) ( 1 ; -1 ; 1 ) - ( 0 ; 0 ; z )  ||
d = || ( z/3 ; -z/3 ; z/3 ) - ( 0 ; 0 ; z )  ||
d = || ( z/3 ; -z/3 ; -2z/3 ) ||
d = | z | * || ( 1/3 ; -1/3 ; -2/3 ) ||
d = | z | * Wurzel( 6/9 )
d = | z | * Wurzel( 2/3 )
z = + d  Wurzel( 3/2 ) oder z = - d Wurzel( 3/2 )
z = +7.5  Wurzel( 3/2 ) oder z = -7.5 Wurzel( 3/2 )

Die beiden StÃ¼tzpunkte sind also
P  = S + ( 0 ; 0 ; z )
P1  = S + ( 0 ; 0 ; +7.5  Wurzel( 3/2 ) )
P1  = ( -4 ; 4 ; 7 ) + ( 0 ; 0 ; +7.5  Wurzel( 3/2 ) )
P1  = ( -4 ; 4 ; 7 + 7.5  Wurzel( 3/2 ) )
P1  = ( -4 ; 4 ; 16.18559 )

P2 = S + ( 0 ; 0 ; -7.5  Wurzel( 3/2 ) )
P2  = ( -4 ; 4 ; 7 ) + ( 0 ; 0 ; -7.5  Wurzel( 3/2 ) )
P2  = ( -4 ; 4 ; 7 - 7.5  Wurzel( 3/2 ) )
P2  = ( -4 ; 4 ; -2.185587 )

Paiwan · Answer

Es gibt unendlich viele Geraden, die diese Bedingung erfÃ¼llen. Alle Geraden mit dem gleichen Richtungsvektor im Abstand 7.5 von der Geraden erfÃ¼llen diese Bedingung.

Geradengleichungen zu einer Gleichung mit dem Abstand 7,5 (s. Details)?

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