Wie wird die Fluchtgeschwindigkeit berechnet?

Beste Antwort

Egal ob Du von Erde, Sonne, Mond oder Sternen fliehen möchtest, Deine kinetische Energie (Ekin) muß größer oder gleich der potentiellen Energie (Epot) sein. Als Fluchgeschwindigkeit wird die Geschwindigkeit bezeichnet, bei der Ekin = Epot ist.

Die kinetische Energie ist leicht berechnet:

Ekin= 1/2 m v²

(m= Masse des Probekörpers, der z.B die Erde verlassen soll,
v= (Flucht-) Geschwindigkeit der Körpers.

Zur Berechnund der potentiellen Energie, betachten wir zunächst die Schwerkraft (F). Es gilt

F= G M m/r²

(M= Masse der Zentralkörpers, z. B der Erde,
r=Abstand der Schwerpunkte der Körper,
G=Gravitationskonstante=6,67*10^-11 m³/(kg s²,
Anmerkung: Setzt man für M die Erdmasse Me=6*10^24 kg und für r den Erdradius Re =6367 km ein und m=1 kg ein erhält man die Schwerebeschleunigung g (=9.81 m/s²))

Weil die Kraft F von r abhängt, darf man die potentielle Energie nicht einfach m g h schreiben, sondern muß das Integral:

Integral (F dr)= Integral(G m M/ r² dr) = - G m M/ r

und den Grenzen R, unendlich lösen. Die Grenzen setzen wir ein und erhalten:

EPot=- G m M (1/unedlich-1/R)=G m M/R

Jetzt

Epot=Ekin also

G m M/R=1/2 m v²

auflösen nach v, ergibt

v=Wurzel(2 M G/R)

Setzt Du jetzt M=Masser der Erde und R=Erdradius ein,

erhälst Du die Fluchtgeschwindigkeit von der Erde v=11190 m/s.

Diese Geschwindigkeit reicht aber nicht aus um das Sonnensystem zu verlassen. Setzt Du in die letzte Geleichung die Sonnenmasse =2*10^30 kg und den Abstand Erde-Sonne = 149.6*10^6 km ein, erhälst Du 42250 m/s.

@Jayman: Es wäre nett, wenn Du auch deine Variblen benennen würdest. Dann wäre es auch nachvollzeibar was Du meinst und man müßte nicht raten:
Nun zu den Korrekturen:

"F = dp/dt = m* dv/dt = m*a = m * s/t² = m*g
(Definition der Kraft)"

Fall Du mit p=m v den Impuls meinst, dann ist richtig F = dp/dt (Newtonsches Trägheitsgesetz, t=Zeit) dann gilt = m* dv/dt nur wenn d m/dt =0 (Poduktregel der Differentiation). Das solltest Du erwähnen. Nachdem für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit der Beschleunigung a gilt: s=1/2 a t², also a= 2 s/t², fehlt nach dem 4 = eine 2. Es sei denn 2=1 oder Du meinst eine andere Bewegung?

"Epot = int(m*g) ds = m*g*int(1)ds" gilt nur wenn s<< Erdradius (R) ist (<< bedeutet sehr klein gegen). Die Formel macht eigentlich nur Sinn, wenn Du mit s die Höhe über der Erdoberfläche meinst . Für den Fall dass man unendlichweit von der Erde weg möchte, geht s gegen unendlich also R<< s.

Bei Deiner nachfolgenden Integration nimmst Du g als konstant an. Dies gilt nur, wenn Du linear nähern darfst, also z. B in der Nähe der Erdoberfläche. Ansonsten müßtest Du für g schreiben

g=g0* (R/r)²=g0 (R/(R+s))²

(g0=Schwerebeschleunigung an der Erdoberfläche, R=Erdradius, r=Abstand zum Erdmittelpunkt, wobei r>=R und s Höhe über der Erdoberfläche.

Dann wundert es auch nicht, dass Du mit

"v = Wurzel (2*g*s)",

da s->unendlich, zu einer unendlichen Fluchtgeschwindigkeit kommst. Und 11200m/s << unendlich.

"Man sollte aber erwöhnen das in der gesamten REchnung stillschweigend eine sehr grobe Näherung gemacht wurde, die in de rNatur berücksichtigt werden muss:
Raumfahrzeug und Planet wurden als Punktförmig angesehen, besitzen also keine Ausdehnung ... das ist in der Natur nicht der Fall ... ;)"
Wo ist da die "grobe" Näherung. Selbst wenn man eine Multipolentwicklung macht um die Abweichung der Form der Erde und des Raumschiffes von der idealen, sichtweise homogenen Kugel zu berücksichtigen, tragen diese Terme höchstens mit der Ordnung (1/r³) zum Potential bei dem Raumschiff, das vielleicht 1 km groß ist, wäre dies in bezug auf den Erdradius ein relativer Fehler von etwa 4*10^-12 und je weiter weg umso weniger.

Nur zum Vergleich, der relative Fehler, dass die relativistische Massenzunahme nicht mit eingerechnet wurde, liegt bei der Fluchtgeschwindigkeit von der Erde bei 3*10^-5

"es ist von Vorteil die grundlagen eines jeden Gesetzes zu kennen". Dem stimme ich voll und ganz zu. Wann lernst Du die Grundlagen?...Mehr anzeigen

naja, ich setz mal voraus, das du etwas integralrechnung kannst und ein durchblick in Physik hast, dann ist es eigentlich ganz einfach:

(G - Gravitationskosntante
M - Masse deines Planeten
s - Abstand zwischen den Masseschwerpunkten
m - Masse des betrachten Körpers
t - Zeit
v - geschwindigkeit
a- Beschleunigung
g -Erdbeschleunigung
F -Kraft
E -Energie
p - Impuls)

es muss gelten:
Ekin = Epot
(Energieerhaltungssatz)

es sind definiert:

E = int (F) ds
(Definition der Energie)

F = dp/dt = m* dv/dt = m*a = m * s/t² = m*g
(Definition der Kraft)

-> Ekin = int (m*a) ds = m*1/t² * int(s)ds
-> Epot = int(m*g) ds = m*g*int(1)ds

Man kann nun Grenzen einsetzen, 0 wäre genau im Gravitationszentrum, s wäre der Abstand zu den Massepunkten ... s ist also der Punkt an dem du starten willst ...

also gilt:

m*g*int(1)ds = m*1/t² * int(s)ds
-> g*int (1) ds = 1/t² * int(s)ds
-> g*(s-0) = 1/t² * 1/2*(s² - 0²)

-> g*s = 1/t²*s²*0,5
-> g*s = v² *0,5
-> 2*g*s = v²

v = Wurzel (2*g*s)

Diese Formel beschreibt die Gescheindigkeit die benötogt wird um von der Erdoberfläche aus zu starten, hier ist s = erdradius.

man kann die Formel natürlich noch etwas verallgemeinern indem man g durch einen allgemeineren Ausdruck ersetzt:

F = m*g = m*M*G/s²
(Gravitationsgesetz)

-> g = M*G/s²

eingesetzt:

v = Wurzel (2*(M*G/s²)*s)

-> v = Wurzel (2*M*G/s)

Man sollte aber erwöhnen das in der gesamten REchnung stillschweigend eine sehr grobe Näherung gemacht wurde, die in de rNatur berücksichtigt werden muss:
Raumfahrzeug und Planet wurden als Punktförmig angesehen, besitzen also keine Ausdehnung ... das ist in der Natur nicht der Fall ... ;)
Mit der Ausdehnung wird die Geometrie des Gravitationsfeldes bestimmt und damit stimmt die Formel nur noch näherungsweise ... es ist aber schon eine sehr gute Näherung.

Berücksichtigen könnte man das z.B. am anfang meiner Herleitung, wenn bei den Grenzen nicht 0 bis s einsetzt sondern r bis s ... und r der Abstand von Masseschwerpunkt des Planeten ist. (bei ein Kugelförmigen Planeten, wäre es der Radius)
auch müsste man einsetzen das an jeden Punkt x des Raumschiffes diese Kraft ansetzt ... also ist

F = summe(F_x)

F_x = m_x*g
m_x = int(roh)dV_x

das kann man, wie man sieht noch verdammt kompliziert machen ... ;)

___

@KN: Ja ich bin davon ausgegangen das die Masse konstant bleibt, da wir uns ja nicht mit annähernd Lichtgeschiwndigkeit bewegen ... darum ist dm/dt = 0 ... und ja du hast richtog erkannt s ist die Höhe über der Oberflache oder eben der Abstand zwischen den 2 betrachteten Massepunkten.

Das ich g als kosnatnt angenommen ahbe, ist durchaus ein Fehler ... geb ich dir recht.

sowas passiert halt, wenn man morgens früh, vor der ersten Vorlesung solche Fragen beantwortet ...

da müsste eigentlich genau genommen:

int (g) ds = int (M*G/s²) ds = M*G*(-1/s)

in den grenzen dann:

int(g)ds = M*G*(-1/s + (lim(s-> 0) 1/s))

stehen ... gebs ja zu, ist nicht ganz sauber hergeleitet ... aber man macht sich ja auch nicht mehr stress als nötig, oder?
des weiteren hätte es wohl ziemlich für verwirrung gesorgt wenn ich behauptet hätte man kann lim(s->0)(1/s) =0 setzen ... mathematisch kommt da unendlich raus ... aberwenn der Abstand 0 wird, liegen beide Punkte in einen Punkt, da vereinfacht man halt und sagt da gibt es keinen Abstand, somit auch keien Wechselwirkung.

Und wenn doch müsste man hier auf die Quantemechanik zurückgreifen, wo bekannter maßen vollkommen andere Gesetze herrschen als im Großen.

Nebebei: das ist wissen, das ich mir nebenbei angeeignet habe ... mein Studiengang befasst sich zwar mit Physik, aber eher mit der Physik "im kleinen" soll heißen Materialeigenschften, elektrische Eigenschften kondensierter Materie und sowas ... ich hab eigenltich nicht wirklich Ahnung von der Physik der Gravitation ...

Entschuldige bitte meine kleinen Fehler ... ich danke dir aber, das du mich darauf aufmerksam machst ... :)

Was die beschleunigung angeht:
Beschleunigung ist die zeitliche Änderung dt der geschwindigkeit v ... die sich so berechnet:

a = dv/dt = d(s / t)/dt = s* d(1/t)/dt = -s / t²

(weis ja nicht was du rechnest, aber da taucht keine Konstante auf)

ich hab sie einfach nur positiv gemacht, so wie ich an der ein oder anderen stelle (sofern dir das nicht aufgefallen ist) das Minuszeichen weggelassen habe ... da ich alle Geschiwndigkeiten und Beschleunigungen, wieuauch die damit zusammenhängenden Kräfte und Energien positiv definiert habe, was auch wesentlich anschulicher ist.

Übrigens bei v = Wurzel (2*g*s) kommt NICHT unendlich raus, da s hier ebenfalls eine konstante ist ... s ist der Abstand zum schwerpunkt, soll heißen, wenn man sich auf der Erde befindet, gehört da der Erdradius eingesetzt ... ich hab mich da etwas unglücklich ausgedrückt, habs geändert.

v = Wurzel (2*M*G/s)
ist etwas allgemeiner gefasst, hier könnte man theoretisch auch ein Wert einsetzen, der nicht auf der Erdoberfläche ist, da man hier das Gravitationsgesetz berücksichtigt.


Nochwas: 10^-5 ist für mich schon ziemlich grob, wenn man sich normalerweise nur mit Atomen, Elektronen, Defekten und sowas befasst ... entschuldigung, das ich da nich ganz so grob denke, wie es für "reine" Physiker üblich ist ... ;)...Mehr anzeigen

Das haengt auch von der Hoehe des erbeuteten Betrags ab, von der PS-Zahl des Fluchtwagens, und von der Dezibelzahl der Alarmanlage.
Ab einer halben Million Dollar drueckt man besser ganz schoen auf die Tube.
;-)...Mehr anzeigen

Entschuldige bitte, aber ist es nicht frustrierend eine Frage zu stellen und dumpfe Wichtigtuer verweisen auf Links ohne den Anschein zu erwecken den Inhalt Deiner Fage erkannt zu haben.?!...Mehr anzeigen

Ein Blick nach Wikipedia löst das Problem:

Zu finden unter Zweite Kosmische Geschwindigkeit:...Mehr anzeigen