Hallo,
wie berechnet man die Fläche eines Keises durch Integration in Polarkoordinaten?
Wenn Int(von 0 bis 2Pi) r d(Phi), kriegt man ja 2r*Pi. Das Ergebnis müsste aber am Ende Pi*r^2 sein. Damit aus "r" "r^2" wird, müsste ich ja nach "r" integrieren aber "r" ist doch konstant oder etwa nicht? Ich komme einfach nicht weiter.
Danke schonmal für die hilfreichen Antworten.
Cardano
Beste Antwort
Hi letzte Mahnung,
wenn Du die Fläche des Kreises mit Radius R mit Polarkoordinaten berechnen willst, dann ist zwar R konstant, aber du brauchst die Variable r mit Werten zwischen Null und R.
Mit den Polarkoordinaten x(r,φ)= r cos φ und y(r,φ)= r sin φ
0 ≤ r ≤ R; 0 ≤ φ < 2π
ergibt sich die Jacobische (zeilenweise) zu
J = ( cos φ . . –r sin φ; sin φ . . r cos φ) und det J = r(cos² + sin²) = r
Somit
A = ∫(0 bis 2π) ∫(0 bis R) det(J) dr dφ = ∫(0 bis 2π) ∫(0 bis R) r dr dφ
= [ ∫(0 bis 2π) dφ ] * [ ∫(0 bis R) r dr ] = 2π R²/2 = π R²
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Sag bitte Bescheid, wenn die Sonderzeichen bei Dir nicht richtig dargestellt werden.
Grüße von Cardano.
Wurzelgnom
Integration durch Substitution:
Integral y(x) dx = Integral y(Ñ) (dx / dÑ) dÑ
Hier ist sin Ñ = y/r, also y(Ñ) = r sin Ñ
und cos Ñ = x/r, also x = r cos Ñ
dx/dÑ = - r sin Ñ
Für einen Viertelkreis wäre das das Integral in den Grenzen von п/2 bis 0
Ziehen wir das Minuszeichen vor und vertauschen die Grenzen, ergibt sich für den Viertelkreis:
A = r² Integral von 0 bis п/2 über sinÂ²Ñ dÑ
Nebenrechnung für Integral sin²x dx:
Geht partiell:
u = sin x , u' = cos x
v' = sinx , v = - cos x
Also: Integral sin²x dx = - sin x cos x + Integral cos² x dx
Setzt man jetzt für cos²x = 1 - sin²x, ergibt sich:
= - sinx cos x + Intergal ( 1) dx - Integral sin²x dx
Jetzt auf beiden Seiten Intergral sin²x dx addieren, anschlieÃend durch 2 teilen und wir erhalten:
Integral sin²x dx = (x - sinxcosx)/2 + C
Und jetzt r² [ (x - sinxcox)/2] in den Grenzen von 0 bis п/2 ergibt 1/4 п r² für den Viertelkreis, also
A = п r²
für den ganzen Kreis.
Boson
Das Flächenelement folgt über die Funktionaldeterminante und lautet entgegen Deiner Angabe nicht dr d(Phi) sondern r dr d(Phi).
Weitere Infos dazu unter http://de.wikipedia.org/wiki/Polarkoordinaten#Fl.C3.A4chenelement .
Setzt Du das richtige Flächenelement ein, transformierst Du also Deine Koordinaten richtig, so folgt auch die Fläche des Kreises mit Pi r^2.
GrüÃe Boson