Lässt sich zeigen, dass für jede beliebige natürliche Zahl n der Term n^7 - n durch 42 teilbar ist? Wenn ja, wie?
2008-05-30T07:32:13Z
@presrandu
Wieso ziehst Du k = 0 eigentlich überhaupt in Betracht??? ;-)
2008-05-30T21:45:23Z
Und wenn man nun die besten Ideen von stjaes und presrandu in einen Topf schmeißt, einmal kräftig umrührt - dann kann mal wohl 'ne prima elegante Lösungsvariante rausfischen ;-)
2008-05-31T09:20:31Z
@Clever Ma! Das war interessanterweise auch mein erster Ansatz, ehe ich dann 'ne bei Weitem kürzere Variante gefunden habe.
2008-05-31T17:00:56Z
@alle Macht wieder richtig Spaß, die unterschiedlichen Ansätze zu sehen. stjaes und clever Ma! zerlegen n^7 - n in n(n³-1)(n³+1), woraus 2 | n^7 - n und 3 | n^7 - n unmittelbar folgen. Wer zeigt an Hand dieser Zerlegung nun (möglichst kurz und GANZ ohne Fermat) 7 | n^7 - n ??
2008-06-01T05:36:23Z
@Cardano Gelöst ist es ja wirklich schon lange. Macht eben bloß Spaß, noch mehr Leuten die Gelegenheit zu geben, auf andere Einfälle zu kommen.
2008-06-01T06:05:37Z
@presrandu Du hattest die erste fast vollständige Lösung. Für k = 2 bzw 3 wäre die Zerlegung in n(n³-1)(n³+1) geeignet gewesen wegen 8 - 1 = 7 und 27 + 1 = 28 = 4*7 Allen anderen auch ein herzliches Dankeschön! Bis zum nächsten Mal!
presrandu2008-05-30T01:43:10Z
Beste Antwort
naja, erstmal sollte klar sein, dass es durch 42 teilbar ist, wenn es durch 2 und durch 3 und durch 7 teilbar ist - das macht es wohl schon verdaubarer--oder? 2 ist trivial versuch n gerade oder n ungerade 3 ist auch einfach, weil n^7-n=n(n-1)(n+1)(n^4 - n^2 -1) 7 ist etwas interessanter. Entweder lernt man den Kleinen Fermatschen Satz und wendet ihn auf n(n^6-1) an, oder man rechnet mit binomischem Satz nach, dass [(7m+k)^7- (7m+k)] - [k^7 - k] immer durch 7 teilbar ist. Also genuegt es, die Aussage fuer k=-3,-2,-1,0,1,2,3 zu ueberprufen. Wegen des Argumentes fur die 3 sind -1,0,1 sowieso klar und wegen Symmetrie reicht also k=2,3 zu versuchen...viel Spasz
Einen schönen Sonntagmorgen zusammen! Ich dachte das Problem wäre längst gelöst. Also, dann will ich auch noch eine Kleinigkeit beitragen.
n^7 – n = n(n^6 –1) = n(n³-1)(n³+1) = n (n-1) (n²+n+1) (n³ - (-1)³) = n (n-1) (n²+n+1) (n+1) (n²-n+1) =(n-1) n (n+1) (n²-n+1) (n²+n+1) Da die ersten 3 Faktoren aufeinanderfolgende natürliche Zahlen sind, ist Teilbarkeit durch 2 und 3 gewährleistet. Setze nun n=7k+m mit 0<=m<=6 ein (eine solche Darstellung existiert für jedes n), dann folgt Teilbarkeit durch 7 für m=1, m=0 und m=6 mittels der ersten 3 Faktoren. Die beiden letzten Faktoren ergeben: ((7k+m)²-7k-m+1) ((7k+m)²+7k+m+1) =(7a+m²-m+1) (7b+m²+m+1) (für ganze Zahlen a und b) Für m=3 und m=5 ist der 1.Faktor Vielfaches von 7 Für m=2 und m=4 ist der 2.Faktor Vielfaches von 7 Somit ist für jedes n Teilbarkeit durch 7 bewiesen. Insgesamt ist n^7 – n also durch 2*3*7=42 teilbar.
Tja, mein Stichwort wäre das Beweisverfahren mittels vollständiger Induktion. Allerdings habe ich jetzt nicht die Zeit, den entscheidenden Schritt "zu Fuß" durchzuführen.
Anfang: [Triviale Fälle sind n=0 und n=1; ja, auch die Null kann man schon mal einbeziehen, wird ja im Allgemeinen als natürliche Zahl betrachtet.] n=2 --> 42 | 126 meinetwegen auch noch n=3 --> 42 | 2184
Voraussetzung: Die Behauptung sei richtig für n=k. Dann könnte man die Behauptung in verschiedenen Formen schreiben und müsste sehen, mit welcher der Beweisschritt am Ende am besten ausführbar ist. 42 | (k^7-k) 42 | (k^6-1)k 42 | (k³-1)(k³+1)k . . .
42 = 7 * 3 * 2 ist ein eindeutige Primzahlzerlegung für 42. Das ist wichtig. 42 ist eine sphenische Zahl, die zweite sphenische Zahl.
n^7-n = n * (n^6-1) ist abwechselnd das Produkt eines geraden n mit einem ungeradem n^6-1 oder eines ungeraden n und eines geraden n^6-1. Damit ist gewährleistet, das 2 immer ein Teiler des Produktes ist. Gleichzeitig ist immer eine ungerade Zahl ebenfalls intuitiv Teiler. Dabei kommt es immer so vor, das wenn n durch 3 teilbar ist, n^6-1 durch sieben teilbar ist, und wenn n durch 7 teilbar ist n^6-1 durch 3 teilbar ist.
Dies lässt sich zeigen, in dem man n=2^x*3^y*7^z*weitere Primzahlenpotenzen einsetzt. {x,y,z} auf N^3. Die Reihe beginnt mit 2^7-2=126=2*3*3*7. n=4 16380=2*2*3*3*5*7*13 3^7-3=2184=2*2*3*3*5*7*13;n=578120=2*2*2*3*3*5*7*31