Ein Rätsel zum Donnerstag Nachmittag: Des Bauer´s Ziege?

Ein Bauer hält sich auf seiner umzäunten kreisrunden Wiese eine Ziege. Die Ziege läuft an einer Leine, die an einem Pfosten am Rand der Wiese festgemacht ist.
Die Wiese hat einen Radius von 5m.
Wenn die Leine eine Länge von 3m hat, wie groß ist dann die Fläche, die der Ziege zur Verfügung steht?

Anm.: Es geht hier nicht um Hausaufgaben oder sowas [aus dem Alter bin ich raus ;-) ], die Lösung kenne ich auch.
Es ist nur ein mathematisches Rätsel - für alle die an sowas Spaß haben (wollen)...

2008-04-24T03:50:47Z

...für die peniblen hier:
Das ganze ist als mathematisches Modell gedacht- daher bitte nicht in die Realität übertragen und alles mit der Halslänge oder sonstigen Fähigkeiten der Ziege relativieren.

2008-04-24T11:06:56Z

Bevor ihr euch in komplizierten Triangulationsformlen verfangt - mal ganz logisch und einfach gedacht:
Die Halbkreisfläche bei einem Kreis mit Radius 3m ist Pi*4,5m² = 14,137m² und der Ziege steht ja nur ein Teil davon zur Verfügung- also MUSS schon mal weniger als 14,137m² rauskommen!
Alles andere- wenn auch noch so quasi- souverän hergeleitet, ergibt einfach keinen Sinn ;-)

Cardano2008-04-24T09:36:44Z

Beste Antwort

Ich komme auf eine Fläche
(korrigiert):
A = 25 π – 41 arccos(0,3)-1,5√(91).
≈12,3204777345312 m² oder etwas vergröbert ≈12⅓ m².

Meine Rechnung:

Nenne den Mittelpkt der Wiese M, den Pflock P und die Schnittpkte der beiden Kreise S und T, ferner den Zentriwinkel bei M ∡(TMS)=γ und ∡(SPT)=α und ∡(MSP)=β.
Dann gilt:
ΔSPM ist gleichschenklig, also β = ½α und ½γ = π - ½α – β = π – α
Nach dem Cosinus-Satz ist SP²=MS²+MP²-2*MS*MP*cos½γ
Da SP=3 und MS=MP=5 und cos½γ = cos(π – α)= –cos α folgt somit
9=25+25+50 cos α ⇒cos α= – 41/50 oder cos½α = 0,3
daher ist α = 2*arccos 0,3
Die Fläche A setzt sich aus den beiden Kreissegmenten A5 und A3, die durch die Strecke ST entstehen zusammen. Für Kreissegmente gilt die Formel A=½r²( α –sin α). Also
A5=½*5²( γ –sin γ). A3=½*3²( α –sin α).
Und A=A5+A3=12,5 γ+4,5 α-(12,5 sin γ +4,5sin α ) mit (*) und (**) folgt
----------------(bei dieser Umformung hatte ich bei meiner Nebenrechnung einen Faktor 2 übersehen, richtig folgt hier:)
A=25 π – (41/2) α –25 sin α und sin α = 3/50 * √(91)
= 25 π – 41 arccos(0,3)-1,5√(91)
≈12,3204777345312
.□
-----------------------
@Ti:
Du hast recht: Bei der vorletzten Umformung hatte ich einen Faktor übersehen. Die Stelle ist nun korrigiert.

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picus482008-04-24T20:56:15Z

12,32 mÂ² habe ich ausgerechnet. Die LÃ¶sungswege finden sich bei http://matheplanet.com/default3.html?call=dl.php?id=17&1139827476&ref=http%3A%2F%2Fde.answers.yahoo.com%2Fquestion%2Findex%3B_ylt%3DAvawxn8TaZj3iOxZKZygnvoJCgx.%3B_ylv%3D3%3Fqid%3D20080124132358AA1fHi7%26show%3D7u
Und wÃ¤hrend ich noch rechnete, hat Cardano wieder die Nase vorn.
@Cardano
Genau, Faktor 2 hatte ich auch vermutet. Aber wie sagte schon Gorbi, wer zuspÃ¤t kommt... :-))

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uf2008-04-24T19:16:52Z

so ganz schnell im kopf ohne lang rum zu rechnene circa 3,5 mÂ²

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Imml2008-04-24T11:01:55Z

Ich bin auf die schnelle dran gescheitert. Man muÃ die FlÃ¤che der beiden Kreissegmente berechnen die sich durch teilen einer Geraden durch die Schnittpunkte der beiden Kreise ergibt. Die Kreissehne lÃ¤Ãt sich durch das gleichschenklige Dreieck berechnen - dessen Schenkel je 3m lang sind. Da hab ich keine Formel gefunden - da fehlt mir der Trick wie man auf den Winkel kommt.

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tigergirl19672008-04-24T10:51:59Z

Ich stell mir mal vor, ich bin die Ziege, dann beiÃe ich die Leine durch, fresse vormittags die ganze Wiese und lass mir nachmittags die Sonne auf den vollen Bauch scheinen!

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