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Wie integriert man x*e^x?
Also man soll das ja mit der partiellen Integration machen, bei mir läuft das allerdings nicht ganz so rund :( Was ich mir gedacht hatbe ist, da die Ableitung von e^x ja auch e^x ist, dann kann ich die Funktion so wählen dass diese die Ableitung ist. Also: u = e^x und u = e^x v = x und v = 1 Also wie berechne ich das jetzt genau, ich kann den Lösungsweg nicht beschreiben. Ich habe zunächst mal: [e^x * x] - Int [1 * e^x] Ich habe jetzt die Buchstaben verwechselt aber das ist doch egal oder?
Dann erhielte ich e^x*x - e^x
DIe Musterlösung sagt dass (x-1) e^x rauskommt.
Deswegen bin ich mir ja nicht sicher mit dem "Das ist doch richtig" ;)
Zudem hätte ich bei meiner Lösung wieder ein Faktor und das Ziel der Produktintegration wäre somit nicht erreicht...
War mir nicht bewusst dass man das so umschreiben kann. ALso dass 2 e^x das selbe ist wie ein e^x
1 Antwort
- παρισαLv 6vor 6 Jahren
Das ist doch richtig.
Das kannst du auch leicht nachprüfen, indem du ableitest.
F(x) = (x-1) *e^x
F (x) = 1* e^x + (x-1) * e^x = x*e^x
Kannst es ja so aufschreiben:
(Kommentar: ich nehme im folgenden das $-Zeichen als Integral)
$x×e^x dx = [ x* e^x] - $ 1*e^x
= [ x* e^x] - [ e^x]
= (x-1)e^x
______________________________
Edit: Hier noch einmal von Anfang an:
Wir wollen f(x) = x * e^x per partieller Integration integrieren.
Allgemein gilt ja:
⌠u '(x) * v(x) dx = [u(x) * v(x)] - ⌠ u(x) * v '(x) dx (1***)
Jetzt müssen wir u(x) und v(x) geschickt wählen, damit wir weniger Arbeit haben, darum wählen wir mal:
u '(x) = e^x und v(x) = x
Damit wissen wir, dass u(x) = e^x und v '(x) = 1 ist.
Nun setzen wir das ganze in die Formel (1***) ein :
⌠ e^x * x dx = [e^x * x] - ⌠ e^x * 1 dx
Da e^x * 1 = e^x ist , gilt nun:
⌠ e^x * x dx = [e^x * x] - ⌠ e^x dx
Nun müssen wir das zweite Intergal auch noch integrieren:
⌠ e^x * x dx = [e^x * x] - [ e^x ] (2***)
Jetzt können wir die Gleichung (2***) umformen, indem wir zusammenfassen bzw. ausklammern:
e^x * x - e^x
in beiden Summanden kommt ein e^x vor, welches wir ausklammern können:
e^x * (x - 1)
Denn beim ersten Summanden wird ein x zu dem e^x multipliziert und beim zweiten Summanden steht lediglich eine 1, also 1*e^x = e^x.
Und siehe da wir haben die Produktintegration angewandt und die Stammfunktion von f(x) = x* e^x , nämlich F(x) = (x - 1) *e^x erhalten !
P.S. F(x) = (x - 1) * e^x = x*e^x - e^x , beide Schreibweisen sind richtig für die Stammfunktion.
[Stichwort : Distributivgesetz]
Um zu überprüfen, ob die Stammfunktion richtig ist, kann man mit der Produktregel ableiten:
F(x) = (x - 1) *e^x
F '(x) = f(x) = 1 * e^x + (x -1)* e^x
= e^x + x*e^x - e^x
= x * e^x
Also haben wir alles richtig gemacht.
Hier ein Link zur partiellen Integration mit e-Funktion: