Wie vereinfache ich folgenden Term?

(n³+2n²+n²+2n) / (2n³+4n²+2n)

Wir klammern erstmal n aus und kürzen es schnell

= (n²+2n+n+2) / (2n²+4n+2)

Noch schnell zusammenfassen

= (n²+3n+2) / (2n²+4n+2)

Jetzt sehe ich noch, dass wir 2 im Nenner

ausklammern können

= (n²+3n+2) / [2*(n²+2n+1)]

Da sticht mir doch plötzlich die erste Binomische Formel im Nenner ins Hirn

= (n²+3n+2) / [2*(n+1)²]

Können wir nun (n+1) als Faktor im Zähler gewinnen?

Antwort: Natürlich!

Entweder durch Polynomdivission

(n²+3n+2):(n+1)=n+2

oder mit dem Satz von Vièta:

3=1+2 und 2=1*2

Schließlich haben wir

(n+1)*(n+2) / [2*(n+1)²]

und gekürzt

(n+2) / [2*(n+1)] = (n+2)/(2n+2)

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Die berechnung ist einfach.

(n³+2n²+n²+2n) / (2n³+4n²+2n) =

(n³+3n²+2n) / (2n³+4n²+2n) =

*********************************************

...1,....3,...2,...0 ...../(2,4,2,0)

..-1...-2,..-1,...0.....q= 1/2,1/2,-1/2,1/2,-1/2,1/2,....

*******************

...0,...1,....1,...0,...0

........-1,...-2,..-1...0

***********************

.........0,...-1,...-1,..0,...0

................1,....2,...1,..0

**************************

................0,...1,...1....0,...0

.....................-1,..-2,..-1,...0..

********************************

......................0,..-1,..-1,...0,...0

............................1,...2,...1,...0

***********************************

............................0,...1,...1,...0

so, q= 1/2 +(1/2)n^-1-(1/2)n^-2+(1/2)n^-3-(1/2)n^-4....

=(1/2) +(1/2)(n^-1-n^-2+n^-3-n^-4...)

=(1/2) +(1/2)(n^-1)/(1+n^-1)

= (n+2)/(2n+2)

In Zähler und Nenner kannst Du zunächst mal n ausklammern und kürzen. Dann bleibt als Zähler Z stehen

Z= n² + 3 n + 2 = (n+1)(n+2)

Für das Faktorisieren habe ich dein Satz von Vieta angewendet, der besagt, dass jedes Polynom als Produkt seiner Nullstellen (x1,x2) derart dargestellt werden kann:

(x-x1)(x-x2) = x² -(x1+x2) x + x1*x2

Du kannst dann entweder die Quadratische Gleichung lösen, oder mal -1, -2 bzw 2,1 als Nullstellen probieren und kommst auf o.g. Faktorisierung

Im Nerr bleibt dann noch stehnen

N = 2 n² + 4 n +2 = 2 (n²+2n+1) = 2(n+1)²

Jetzt brauchst du nur noch mit n+1 kürzen und ein bleibt

(n+2)/(2(n+1)) = (n+2)/(2n+2)

stehen.

so → .