Überall Vollmond am selben Tag?

Nein. Um das zu verstehen, muss man die Erdkugel imaginär zunächst in eine westliche und östliche, eine nördliche und südliche Hemisphäre sowie eine Tag- und eine Nachthälfte unterteilen. Das ergibt insgesamt acht gedachte Teile.

Wenn nun an der Tag/Nachtgrenze (nördlicher Teil) bereits der Vollmond scheint, ist am Nullmeridian der Nordhalbkugel - in dessen Nähe Deutschland sich befindet - zunehmender Halbmond. Wenn wir zwei Wochen später Vollmond haben, wäre demgemäß auf Hawaii abnehmender Halbmond. Trotz der Zeitverschiebung sieht aber immer dieselbe Seite des Mondes. Logisch.

Auf der Südhalbkugel sieht man die andere Hälfte des Mondes. Wo im Norden gerade Vollmond ist, ist am südlichen Entsprechungspunkt zur selben Zeit Neumond, weil man auf die unbeschienene Rückseite blickt. Bei Halbmond trifft sich beides in der Mitte. Gleichfalls logisch.

Der Mond dreht sich in einem Monat um die Erde. Er wird von der Sonne immer voll beleuchtet, d.h. natürlich immer nur die sonnenzugewandte Seite, so beleuchtet die Sonne auch die Mondrückseite, und diese sehen wir nie. Wir sehen nur das wa beleuchtet ist, das hat nichts mit dem Erdschatten zu tun. Ist der Mond in diesem Schatten haben wir Mondfinsternis.