Ich verstehe das Erebnis nicht! Wieso ist das so?

Wie Naronnas ganz richtig schreibt, ist seine Erklärung recht anschaulich, aber mathematisch nicht sauber begründet.

(Leider beschränken sich die Lehrer bei uns heute auch meist darauf und vielen Schülern genügt das dann auch. )

Wenn Dir aber an einer exakten Begründung gelegen ist, solltest Du eine Grenzwertbetrachtung anstellen.

(x³-2x)/(x-1) = 1/(x-1) * (x³ - 2x)

Der Grenzwert eines Produktes ist gleich dem Produkt der Grenzwerte.

lim ( x -> 1) von (x³ - 2x) = 1 - 2 = - 1, also negativ

(In diesem Faktor ist der Grenzwert gleich dem Funktionswert; es interessiert aber in diesem Fall nur, dass er negativ ist)

Betrachtest Du x-Werte links von 1, also x < 1, so ist x - 1 < 0, also auch 1/(x - 1) < 0

Vom Betrag her strebt der Faktor gegen oo, insgesamt also gegen - oo.

Damit ist das Produkt aus zwei negativen Werten insgesamt positiv, also lim ( x -> 1; x < 1) ist + oo

Für x > 1 gilt: 1/(x-1) ist positiv, strebt gegen + oo, (x³ - 2x) strebt gegen - 1; das Produkt strebt gegen - oo

Ich mach dir mal ein einfacheres Beispiel:

lim x->1+ von 1/(x-1) = +unendlich

lim x->1- von 1/(x-1) = -unendlich

Wenn ich hier also x=1 einsetze, dann würde da ja rauskommen: 1/(x-1) = 1/(1-1) = 1/0 = unendlich

Allerdings weis man nicht ob dieses unendlich jetzt positiv oder negativ ist, weshalb man zwischen 1+ und 1- unterschiedet:

Nun einen Wert ganz knapp über eins (sozusagen 1+) einsetze kommt dabei eine sehr große Zahl zustande, beispielsweise:

1/(x-1) = 1/(1,000001-1) = 1/0,000001 = +1000000 => + unendlich

Wenn ich dagegen nun einen Wert knapp unter eins einsetze kommt so unter dem Bruchstrich und somit insgesammt eine negative Zahl heraus:

1/(x-1) = 1/(9,999999-1) = 1/(-0,000001) = -1000000 => - unendlich

Ich hoffe das erklärt dir anschaulich wie die Vorzeichen zustande kommen, auch wenn die Erklärung mathematisch sicher nicht ganz richtig ist.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29%3D%2...

Ist es jetzt verständlicher?