gegeben ist die kurve k durchf(x)=1/4x^4-3x^2+5. zeigen sie die gerade g mit y=-4x+5 ist tangente an k mit x=2 wie ist die aufgabe zu lösen?

Dafür müssen zwei Dinge bewiesen werden. Nämlich das die Steigung an der Stelle x=2 genauso groß ist wie die der Tangente. Die Steigung der Tagente ist einfach abzulesen bei f(x)=ax+b bleibt bei der Ableitung f'(x)=a stehen. Die Steigung ist also f'(2)=-4

Jetzt bilden wir die Ableitung von der Kurve

f(x)= 1/4x^4-3x^2+5

f'(x)= x^3-6x

Jetzt überprüfen wir ob die Steigung an der Stelle x=2 tatsächlich -4 ist.

f'(2)= 2^3-6*2

f'(2)=8-12

f'(2)=-4

Das passt also schonmal

Eine Tangente schneidet eine Funktion immer in einem Punkt und hat in diesem die selbe Steigung. jetzt muss noch bewiesen werden, dass der Schnittpunkt der Geraden mit der Funktion bei x=2 liegt. Dafür setzten wir die Funktionen gleich um den Schnittpunkt zu erhalten. Alterntiv kann man beide Funktionwerte bei x=2 ausrechnen.

-4x+5=1/4x^4-3x^2+5

0=1/4x^4-3x^2-4x

0=x*(1/4x^3-3x-4) ///x=0 Ein X ausgeklammert

0=1/4x^3-3x-4

Jetzt muss eine Nullselle erraten werden. Durch ausprobieren kommt man auf x=4 Dann kann die Polnomdivision angewednet werden

1/4x^3-3x-4 : (x-4) = 1/4x^2-x+1

1/4x^3-x^2

-x^2-4x

1x-4

0

Jetzt kann noch drch die quadratische Ergänzung oder die PQ Formel die restlichen beiden Nullstellen bestimmt werden

0=1/4x^2-x+1

0=x^2-4x+4

0=(x^2-2x2+2^2)-2^2+4

0=(x-2)^2

0=x-2 / +2

x=2

Natürlich die letzte Nullstelle die übrig bleibt stellt den Beweis dar. x=2 ist ein Schnittpunkt der Funktionen.

...

mit Punkt und Komma

. f(x)=14⋅x4−3⋅x2+5

1. Ableitung

f′(x)=x3−6⋅x

2. Ableitung

f′′(x)=3⋅x2−6

3. Ableitung

f′′′(x)=6⋅x

Stammfunktion

F(x)=x⋅(x2−10)220

Nullstellen bei

x=−2,x=2,x=−10,x=10

Extrema

Minimum im Punkt ( −6 | −4 ),

Minimum im Punkt ( 6 | −4 ),

Maximum im Punkt ( 0 | 5 )

Wendepunkte

Wendepunkt bei ( −2 | 0 ),

Wendepunkt bei ( 2 | 0 )

Grenzwert gegen plus unendlich

limx→∞f(x)=∞

Grenzwert gegen minus unendlich

limx→−∞f(x)=∞

Definitionsbereich

Df= ]−∞,∞[

Symmetrie

Achsensymmetrie zur y-Achse