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Matheaufgabe Teilbarkeit?
Wie kann ich am besten die folgende Aufgabe lösen:
Zeigen Sie, dass alle geraden n e N die Zahl 3^n - 1 durch 8 teilbar ist.
Ich komm da nicht weiter, da ich keine Ahnung habe, wie ich vorgehen muss.
1 Antwort
- TomLv 7vor 7 Jahren
Entweder
3^(2m) - 1≡9^m - 1
≡1^m - 1≡0(mod 8)
oder per Induktion:
Induktionsanfang:
n=0: 9^0 - 1 = 0 ist durch 8 teilbar.
Induktionsschritt:
Sei 9^(2m) - 1 durch 8 teilbar. Dann
ist auch 9^(2m+2) - 1 durch 8 teilbar,
denn
9^(2m+2) - 1 - (9^(2m) - 1)
= 81*9^(2m) - 1*9^(2m)
= 80*9^(2m)
ist offensichtlich durch 8 teilbar.
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