Wie war es nochmal mit der Fläche von 2 eingeschlossenen Funktionen?

Die Erinnerung mit den bestimmten Integralen war richtig, der Ansatz mit den Ableitungen ist es leider nicht! ;-)

Im Grunde ist es ganz einfach:

Die von zwei Funktionen eingeschlossene Fläche berechnet sich mithilfe des bestimmten Integrals der Differenz der beiden Funktionen*, wobei die Unter- und Obergrenze des bestimmten Integrals die x-Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Funktionen ist.

Und Schnittpunkte berechnet man durch Gleichsetzen der Funkionen, nicht durch Ableiten.

Hier ginge das so:

1. Schnittpunkte ermitteln: f(x) := g(x)

x² - 3x - 2 = x - 2

x² = 4x

x₁ = 0; x₂ = 4

2. Integral der Differenzfunktion bestimmen**:

∫ [f(x) - g(x)] dx =

∫ [x² -3x - 2 - (x - 2)] dx =

∫ [x² -4x] dx =

∫ x² dx - 4 ∫ x dx =

1/3 x³ - 4 * 1/2 x² + C =

x³/3 - 2x² + C

3. Fläche als bestimmtes Integral von x₁ bis x₂ ermitteln (Betrag, s. Kommentar weiter unten):

4

|∫ [f(x) - g(x)] dx| =

0

|(4³/3 - 2(4)² + C) - (0³/3 - 2(0)² + C)| =

|-32/3| = 32/3 = 10⅔

NACHTRAG:

Konkret welche Schritte bzw. Umformungen sind dann an der Rechnung unverständlich? Ich habe da schon einige Schritte mehr hingeschrieben, als ich es normalerweise täte! ;-)

NACHTRAG 2 (@KN):

Ich hatte mir beim Schreiben (konkret bei der Formulierung, die Grenzen des Integrals seien "die x-Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Funktionen") überlegt, ob ich noch darauf eingehen soll, was man denn macht, wenn es mehr als nur zwei Schnittpunkte gibt, aber ich wollte die Sache nicht zu kompliziert machen.

Aber was du schreibst, ist natürlich völlig richtig und ist auch bei der Lösung solcher Aufgaben zu beachten. Toll erklärt, übrigens. :-)

Der springende Punkt ist eben auch, worum genau es in der Aufgabenstellung geht. Geht es wirklich nur um eine mathematische Flächenberechnung, dann sind "negative Flächen" sinnlos; wird das Integral aber z.B. für bestimmte physikalische Sachverhalte bestimmt, sieht's schon wieder anders aus.

Gruß,

Zac

* oder der Differenz der bestimmten Integrale der beiden Funktionen, kommt aufs Gleiche raus

** Eigentlich musst du diejenige Funktion von der anderen abziehen, welche zwischen den beiden Schnittpunkten kleinere Werte hat, damit die Fläche positiv ist. Wenn man es andersherum macht, bleibt zwar der Wert gleich, aber das Vorzeichen ist "falsch" (weil negativ). Statt sich nun den Kopf zu zerbrechen und/oder Testkoordinaten zu berechnen, kann man es für dieses konkrete Problem aber auch einfacher machen: Einfach das Integral bestimmen, egal in welcher Reihenfolge und davon den Betrag nehmen! ;-)

Zac hat schon ausfürlich diese Aufgabe erläutert und diese ist gutmütig. Jetzt betrachten wir zwei bösartige Funktionen

f(x) = sin(x)

g(x) = -sin(x)

Von denen sollen wird die Fläche zwischen den Graphen zwischen 0 und 2 pi berechnen.

Dann legen wir mal los (Int steht ab hier für Integral von 0 bis 2 pi

Int (f(x)-g(x)) dx = Inf (sin(x) -(-sin(x))) dx = Int (sin(x)+sin(x)) dx =

2*Int sin(x) dx

Dann lösen wir das Integral

2*Int sin(x) dx = 2 *(-cos(x))|0..2pi) = -2 cos(x)|0..2pi =

-2(cos(2 pi) -cos(0)) = -2 (1 - 1) = -2 * 0 =0

Zwischen sin und - sind liegt aber eine Fläche, das sieht man, wenn man die Graphen getrachtet, also kann sie nicht 0 sein. man sieht auch, dass zwischen 0 und pi/2 der sin positiv, zwischen pi/2 und pi negativ ist, entsprechend sind die Flächen zwischen dem Graphen und der Koordinatenachse mal positv und mal negativ, beide sind gleich groß also ist ihre Summe 0. Gleiches gilt für den -sin nur mit umgedrehten Vorzeichen.

Daher folgendes Vorgehen

f(x) = g(x) <=> f(x)-g(x) = 0

Von f(x)-g(x) die Nullstellen bestimmen. Dannach jeweils

| Integral f(x)-g(x) dx | jeweils in den Grenzen der aufeinanderfolgenden Nullstellen bestimmen. Bei sin(x)-sin(x) wären dies 0, pi, 2pi,....

Unter Verwendung obigen Resultates wären die letzten Schritte

A= 2 {|cos(x) | 0..pi/2| + |cos(x) |pi/2..pi|

A=2{|cos(pi/2)-cos(0)| + |cos(pi)-cos(pi/2)|

A=2*{|-1-1|+|1-(-1)|} = 2{|-2|+|2|}

A = 8

Das mit dem unterteilen des Integrals nach Nullstellen der Differenzfunktion brauch man nicht immer. Wäre f= sin²(x) ung g= -sin²(x), dann wäre f-g= 2 sin²(x)>=0. Das Problem mint den negativen Flächen taucht dann nicht auf und man kann dann direkt über alle Nullstellen hinwegintegrieren.

Und um die Verwirrung komplett zu machen. Wenn die Fläche zwischen den Graphen etwas physikalisches ist, dann hat eine negative Fläche auch eine physikalische Sinn. Dann wird das Ganze ohne Betragsstriche und Unterteilung nach Nullstellen gemacht.