Wie bestimme ich die Eigenschaften der Relationen?

Question

Hallo,

ich habe a), b), c) und d) vorgegeben. Ich muss diese Relationen auf folgende Eigenschaften („Reflexivität“, „Symmetrie“, „Asymmetrie“, „Antisymmetrie“ und „Transitivität“) untersuchen, allerdings weiß ich nicht, wie ich da vorgehen soll.

(a) „ist verwandt mit“
(b) „ist gleich groß wie“
(c) „ist Kind von“
(d) „ist kleiner als“

Könnte mir da jemand bitte weiterhelfen?

[E] = Element

[/E] = kein Element

[/=] = ungleich

Ich habe mir auch schon die Eigenschaften rausgesucht, allerdings habe ich große Probleme damit, diese "Sätze" zu lesen und oben anzuwenden. Ich würde mich freuen, wenn es mir jemand erklären könnte. Nur Lösungen bringen mir leider nichts.. :(

Eine Relation R auf M nennt man

- symmetrisch, wenn für alle m [E] M und n [E] M gilt:
          (m, n) [E] R ) -> (n,m) [E] R
- antisymmetrisch, wenn für alle m E M und n E M gilt:
          (m, n) [E ] R und (n,m) [E] R  -> m = n
oder
          m [/=] n -> (m, n) [/E] R oder (n,m) [E] R
- asymmetrisch, wenn für alle m) [E]M und n) [E]M gilt:
          (m, n) ) [E] R -> (n,m) [/E] R
- reflexiv, wenn für alle m 2 M gilt:
          (m,m) [E] R
- transitiv, wenn für alle m [E] M und n [E] M und l [E] M gilt:
         (m, n) [E] R und (n, l) [E] R -> (m, l) ) [E] R

Wurzelgnom · Accepted Answer

Eine schöne Frage!!!

(„Reflexivität“, „Symmetrie“, „Asymmetrie“, „Antisymmetrie“ und „Transitivität“)

Reflexivität = Rückbezüglichkeit-
Für alle a gilt aRa, also:
a) „ist verwandt mit“ 
Also Für alle a gilt aRa, also jeder ist mit sich selbst verwandt (könnte man so sehen)

(b) „ist gleich groß wie“ 
Jeder ist so groß wie er selber - korrekt

(c) „ist Kind von“

Quatsch - keiner ist sein eigenes Kind

(d) „ist kleiner als“ 
Nö - keiner ist kleiner als er selber

Symmetrie

(a) „ist verwandt mit“
Wenn a verwandt ist mit b, ist auch immer mit a verwandt

(b) „ist gleich groß wie“ 
Wenn a so groß ich wie b, ist b immer auch so groß wie a

(c) „ist Kind von“
Wenn a Kind von b ist, kann b nicht Kind von a sein
 
(d) „ist kleiner als“
Wenn a kleiner ist als b, kann b nicht kleiner sein als a

„Transitivität“
Für alle a, b, c gilt:
aRb ^ bRc => a^c

„ist verwandt mit“..
Wenn a mit b verwandt ist und b mit c, so ist a auch (wenn auch über drei Ecken) mit c verwandt

(b) „ist gleich groß wie“ 
Wenn a so groß ist wie b und b so groß wie c, so ist a auch so groß wie c
 
(c) „ist Kind von“ 
Wenn a das Kind von b ist und b das Kind von c, dann wäre es schon böseste Inzucht, wenn a das Kind von c wäre

(d) „ist kleiner als“
Wenn a kleiner ist als b und b kleiner als c, dann ist a sicher auch kleiner als c

Den  Rest untersuchst Du jetzt selber...

@ Nachtrag
Ist das denn nun wirklich zu schwer, um es selber weiter zu machen???

Es gab zwei Relationen, die NICHT symmetrisch sind:

"ist Kind von" und "ist kleiner als"

"ist Kind von" muss asymmetrisch sein,
denn wenn a Kind von b ist, kann b NIE Kind von a sein

"ist kleiner als" muss asymmetrisch sein,
denn wenn a kleiner ist als b, kann b nicht kleiner sein als a.

@ Nachtrag 2
Ich zitiere:
"Ich verstehe nicht ganz, was es heißt, dass es kein Element von R ist.. "

"[a;b] ist nicht Element von r" heißt
a steht mit b nicht in der Relation/ Beziehung r

R - verwandt sein mit
[a;b] ist nicht Element von R
[a;b] ist nicht Element der Verwandtschaftsbeziehung, a ist nicht mit b verwandt.

.

? · Answer

Nach deiner Definition der Asymmetrie ist...  - lass uns doch mal den spitzfindigen fall m = n untersuchen. (m, m) ) [E] R -> (m,m) [/E] R  ist paradox, mit anderen Worten: Jedes Paar(m,m)  gehört nicht zur asymm. Relation. Aber zur antisymm. rel.

" Ich verstehe nicht ganz, was es heißt, dass es kein Element von R ist". Beispiel: Falls R "<" ist und M die menge der rellen Zahlen, dann heißt dei relation "<"  genau dann asymmetrisch,  wenn aus x < y folgt "y<x" ist falsch. Das stimmt für "<".  Es stimmt nciht für "<=" im falle x=y.

Wie bestimme ich die Eigenschaften der Relationen?

2 Antworten