integral((-x^2+4x-3)^2) dx?

∫ ( - ( x - 2)² + 1) dx =

∫ ( - (x² - 4x + 4) + 1) dx =

∫ ( - x² + 4x - 3) dx =

- x³/3 + 2x² - 3 + C

Das ist aber etwas Anderes als

Integral ( - x² + 4x - 3)² dx

Was meinst Du denn nun?

Das Quadrat muss man nicht wegbekommen, sondern den Term ausmultiplizieren, also

( - x² + 4x - 3)² = ( - x² + 4x - 3)(x² + 4x - 3) =

( x^4 - 4x³ -+3x² +

..... ... - 4x³ + 16x² - 12 x +

... .... ... ... + 3x² - 12x + 9 )

-------------------------------------------

x^4 - 8x³ + 22x² - 24x + 9

∫(x^4 - 8x³ + 22x² - 24x + 9) dx = x^5 /5 - 2x^4 + 22/3 x³ - 12x² + 9x + C

@KN

hi-hi-hi

Warum einfach, wenn's auch umständlich geht?

@KN - die zweite

Stimmt - wo Du Recht hast, Hast Du Recht

Neben Wurzelgnoms Hauruckverfahren, kann man auch noch etwas quer durch die Umformungen spielen. Also fange wir am an.

Integral((-x²+4x-3)²) dx = Integral(((-1)(x²-4x+3))²) dx =Integral((x²-4x+3)²) dx

(dabei wurde in der innersten Klammer ein (-1) ausgeklammert, und dann das Quadrat der innersten Klammer aufgelöst und da (-1)² = 1 ist, kann mal in der Mulitplaktion die 1 weglassen). Betrachten wir uns das x²-4x+3 stellen wir fest das 1 und 3 oder -1 und -3 Kandidaten für Nullstellen der Parabel sind, setzen wur 1 ud 3 ein, zeigen wir dass 1 und 3 die Nullstellen sind somit können wir nach dem Satz von Vieta schreiben

x²-4x+3 = (x-1)(x-3)

und das Integral erhält die Form

Integral((x²-4x+3)²) dx = Integral((x-1)(x-3))² dx

Jetzt noch die Substitution x= z+2 <=> z= x-2 und dx = dz

Integral((x-1)(x-3))² dx = Integral((z+1)(z-1))² dz = Integral (z²-1)² dz

(Letzter Schritt war Anwenden der 3. Binomischen Formel) Jetze wird das Ausmultiplizieren einfacher

Integral (z²-1)² dz = Integral (z^4 - 2 z²-1) dz = z^5/5 - 2 z^3/3 + z +C

Rücksubstitution

z^5/5 - 2 z^3/3 + z +C = (x-2)^5/5 - 2 (x-2)^3/3 + x-2 +C

Das kann man jetzt noch mit der Integrationskonstanten so stehen lassen (ohne die -2 da die in der Integrationskonstanten "verschwindet").

Um auf Wurzelgnom Lösung zu kommen mus man noch Ausmultiplizieren. Dazu wendet man jetzt ein Blick auf das Pascalsche Dreieck

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

und die Klammern aufzulösen:

(x-2)^5 = x^5-5 *2 x^4+10* 2² x³-10 2³ x²+5 2^4 x-2^5 =x^5-10 x^4+40 x³-80 x²+80 x-32

(x-2)^3 = x^3-6 x^2+12 x-8 =x^3-6 x²+12 x-8

und alles zusammenfassen

Integral((-x^2+4x-3)^2) dx = x^5/5-2 x^4+(22 x^3)/3-12 x^2+9 x-46/15 + c = x^5/5-2 x^4+(22 x³)/3-12 x²+9 x+C

(Die -46/15 sind in der Integrationskonstanten C "verschwunden") Und siehe da, Wurzelgnom hat sich nicht verrechnet.

@ Wurzelgnom: Kompliziert wird das ganze erst beim Ausmultiplizieren. Ich würde einfach

F(x) = (x-2)^5/5 - 2 (x-2)^3/3 + (x-2) +C

als Resultat stehen lassen. Sollte in einer weiteren Rechnung z.B, das die Fläche die der Graph von f und die X-Achse einschließt, würde es wegen der offensichtlichen Punktsymmetrie von F[x] bzgl. der Punktes (2;C) genügen 2*F(3) zu berechnen, was ich sagar noch im Kopf hinkriege. In der Ausmultiplizierten Form bräuchte ich eine Taschenrechner oder zumindest Papier und Stift...