Vektorrechnung Hilfe gesucht!!?

Deine Angaben ergeben kein Quadrat. Ich gehe davon aus, dass die x-Koordinaten von A und B nicht 2 sondern -2 ist.

Aufgabe Teil a)

Die z-Koordinaten von A, B und C haben alle den Wert von -1, darum liegt die Grundfläche parallel zur x/y-Ebene.

Die Eckpunkte der Grundfläche ABCD sind:

A( -2 / -1 / -1)

B( -2 / 5 / -1)

C( 4 / 5 / -1)

D( 4 / -1 / -1)

S( 1 / 2 / 6)

Somit haben wir ein Quadrat mit einer Kantenlänge von 6 LE.

Der x-Wert von S liegt in der Mitte von -2 und 4, der y-Wert von S liegt in der Mitte von -1 und 5, der z-Wert liegt 7 LE über -1.

Aufgabe Teil b)

Die Länge AC berechnet sich aus: AC = 6 * Wurzel(2) LE

Das Dreieck was nun gebraucht wird ist MCS, wobei M der Mittelpunkt der Grundfläche ist.

Um die Strecke CS zu berechnen wird die halbe Diagonale der Grundfläche (AC / 2) und die Höhe der Pyramide gebraucht (7 LE).

Nach dem Satz des Pythagoras:

CS^2 = (3 * Wurzel(2) )^2 + 7^2

CS^2 = (9 * 2) + 49 = 18 + 49 = 67

CS = Wurzel(67)

Weg = AC + CS = 6 * Wurzel(2) + Wurzel(67)

Weg = 8,49 LE + 8,19 LE = 16,68 LE

HINWEIS

CS^2 ist das Quadrat der Strecke von CS.

Wurzel(x) ist die (Quadrat-)Wurzel aus x.

###

@Sebastian

Die beiden Koordinaten A und C sind die Eckpunkte der Diagonale der Grundfläche.

Aus der Differenz dieser Koordinaten ergeben sich die Längen der Grundfläche:

A( 2 / -1 / -1) - C( 4 / 5 / -1) = (-2 / -6 / 0)

Somit ergeben sich die Längen von 2 LE (x-Richtung) und 6 LE (y-Richtung).

Ein Quadrat hätte in beiden Richtungen den selben Wert haben müssen, z.B. 6 LE.

Aus verschiedenen Gründen nehme ich an, dass das ein Grundkurs-Niveau sein soll.

Das heißt, dass man manche eleganten Rechenwege evtl. (noch) nicht zur Verfügung hat.

Dass ich im Aufgabentext das Wörtchen "gerade" bei der "quadratischen Pyramide" vermisse, spielt keine wesentliche Rolle.

Ebenso kann man sich vorstellen, dass es Pyramiden gibt, deren Grundfläche NICHT parallel zur x-y-Ebene (bzw. x₁-x₂-Ebene) liegt.

Aber tatsächlich müssten, wenn man von der "normalen" Bezeichnungsweise der quadratischen Grundfläche ausgeht, (zwischen den Punkten A, B und C) zwei Vektoren zu finden sein, die gleich lang (und natürlich zueinander orthogonal) sind.

||| Vielleicht kannst du noch

||| bei den Koordinaten der Punkte

||| eine Korrektur anbringen?

"Normal" wäre ein solches Quadrat:

D ----------- C

| . . . . . . . . |

| . . . . . . . . |

| . . . . . . . . |

A ----------- B

a)

Da die dritte Koordinate, also die z-Koordinate bzw. die x₃-Koordinate

bei A, B und C den selben Wert hat, liegen die drei Punkte alle

exakt eine Einheit unterhalb der x-y-Ebene (bzw. x₁-x₂-Ebene).

→ Auch der Punkt D muss als dritte Koordinate den Wert "-1" haben.

Wenn die Pyramide h=7LE haben soll, ist die dritte Koordinate con S

-1 + 7 ==> 6.

Um in der Pyramiden-Grundfläche Vektoren bezüglich ihrer Länge bzw. ggf. Parallelität oder Orthogonalität zu untersuchen, braucht man (z. B.) die Vektoren AB, BC, DC und AD.

Diese Prozedur des Findens von Vektoren zwischen zwei Punkten solltest ihr schon (mindestens) huntert Mal durchgeführt haben, so dass es in Fleisch und Blut übergegangen sein müsste.

Mit den Koordinaten der Punkte A, B und C kennt man auch deren Ortsvektoren OA, OB und OC.

. . . . . . . . . . . . . . Vektoren . . . . . . .Beträge der Vektoren

AB = OB - OA = ( 0 ; 6 ; 0 ) ------> |AB| = √(0²+6²+0²) = 6

BC = OC - OB = ( -2 ; 0 ; 0 ) ------> |BC| = √(2²+0²+0²) = 2

Mit dem Skalarprodukt könnte man zwar zeigen, dass AB⊥BC ist,

denn es ist AB⋄BC = 0⋅(-2) + 6⋅0 + 0⋅0 = 0;

aber wegen der unterschiedlichen Beträge wäre ABCD kein Quadrat.

EINE MÖGLICHE KORREKTUR deiner Aufgabe wäre (aufgrund der ersten beiden Koordinaten der gegebenen Punkte):

A(2/-1/-1), B(2/5/-1), C(4/5/-1)

..... . ............. .. ........... ⇓

A(2|-1|-1), B(2|5|-1), C(-4|5|-1)

. . . . . . . . . . . . . . Vektoren . . . . . . .Beträge der Vektoren

AB = OB - OA = ( 0 ; 6 ; 0 ) ------> |AB| = √(0²+6²+0²) = 6

BC = OC - OB = ( -6 ; 0 ; 0 ) ------> |BC| = √(6²+0²+0²) = 6

Finden der Koordinaten von D:

AD=BC und CD=-AB

OD=OA+BC oder OD=OC-AB → D(-4|-1|-1).

Finden der Koordinaten der Spitze S:

S liegt exakt über dem Mittelpunkt M der Grundfläche;

die Koordinaten von M kannst du vielleicht berechnen: M(-1|2|-1) → S(-1|2|6)

b)

WENN die von mir angenommene Änderung zutreffend wäre,

solltest du die gesuchten Strecken (bzw. deren Summe) selbst ausrechnen können:

Strecke = AC + CS

(Ergebnis: (6√2+√67)LE ≈ 16,7 LE)

Bei der Vektorrechnung entspricht jeder Wert einer Dimension wobei der dritte Wert die Höhe beschreibt. Alle 3 Punkte die die Grünfläche beschreiben haben die selbe Höhe. Folglich liege die Grundflächenebene parallel zu der Ebene aus den ersten beide Dimensionen.

Um die Distanz zweier Punkte zu ermittelt zeihst du den ersten Punkt vom zweiten Punkt ab.

C-A = (4/5-1) - (2/-1/-1) = (2/6/0)

Das Ergebnis beschreibt jetzt die Strecke in 3 Dimensionen. Um eine Strecke in einem Wert zu erhalten nutzen wir den Satz des Pytagoras, den dieser gilt auch im dreidimensionalem Raum.

a^2+b^2+c^2=d^2

Wurzel aus^(2^2+6^2+0^2) = Strecke

Die Strecke beträgt dann 6,32 Längeneinheiten.

Für die zweite Strecke musst du erst den Punkt S bestimmen. D bräcuhte man gar nicht zwingend

Der Punkt S liegt 7 Längeneinheiten höher als der Mittelpunkt der Grundfläche. Er liegt also bei (3/3/6)

Der Punkt D liegt bei (4/-1/-1) Der Mittelpunkt liegt immer bei der Hälfte der Differenz einer Dimension addiert mit dem Punkt mit dem kleineren Wert. Sorry einfacher kann man es nicht erklären, das ist Logik die man einmal verstehen muss und dann nie mehr verlernt

Ich hoffe ich habe mich nicht vertan, das ist ohne Zeichnung nicht so leicht, man kann sich gut vertun wenn man aus der Übung ist. Zeichne am besten immer erst alle Punkte und Strecken in ein Koordinatensystem, dann wird es anschaulicher.

Du hast jetzt Punkt C und S. Versuche einfach mal die Strecke zu bestimmen.

Ups: habe gar nicht gemerkt das die erste Aufgabe schon Punkt D und S fordert. Hoffe du kannst das trotzdem auseinanderhalten.