Polynomdivision mit Gleichung 4. Grades?

Auch wenn Wurzelgnom eine sehr elegante Lösung präsentiert hat, die Polynomdiviesion Schritt für Schritt:

(x^4-6x^3+2x^2+12x-8):(x^2-2)

Wie oft geht x² in x^4 ? x² mal x²*(x^2-2) = x^4-2x² jetzt ziehen wir ab

(x^4-6x^3+2x^2+12x-8)-(x^4-2x²) = -6x³+4x²+12 x + 8

Wir haben bis jetzt:

(x^4-6x^3+2x^2+12x-8):(x^2-2) = x² + (-6x³+4x²+12 x + 8)/(x²-2)

Wie oft geht x² in -6x³ ? -6x mal -6x*(x^2-2) = -6x³+12x jetzt ziehen wir vom Rest ab

(-6x³+4x²+12 x - 8) -(-6x³+12x) = 4 x² - 8, also

(x^4-6x^3+2x^2+12x-8):(x^2-2) = x² -6x + (4 x² - 8)/(x²-2)

Wie oft geht x² in (4 x² - 8) ? 4 mal, somit 4*(x^2-2) = 4 x² - 8

das ziehen wir von rest ab, also

(4 x² -8) - (4 x² - 8) = 0 Es Beilbt also kein Rest

(x^4-6x^3+2x^2+12x-8):(x^2-2)= x² -6x + 4

Zur Probe kannst Du (x² -6x + 4)(x² -2) ausrechnen und kommst auf den Ausgangsterm.

Zu Deiner nächten Frage. Was sind die Nullstellen von (x²-2)=0?

x² -2 =0 <=> x² =2 => x1 =Wurzel(2), x2= -Wurzel(2)

Du kannst natürlich zuerst

(x^4-6x^3+2x^2+12x-8)/(x-Wurzel(2)) =x^4-6 x^3-Wurzel(2) x^2-4 x^2+6 Wurzel(2) x+4 Wurzel(2)

ausrechnen (Viel Spass bein Verrechnen) und anschließend dan ganze durch (x+Wurzel(2) dividieren. Es kommt matheatisch dasselbe raus - beim Rechnen von Hand garantiet ein Rechenfehler. Wie du von den Bruchrechenregeln weisst ist

(a/b)/c = a/(b*c). Warum also nich (x-Wurzel(2)(x+Wurzel(2) zu x²-2 zusammenfassen und dann dividieren?

Macht man nicht immer.

Hier hast Du f(x) = x^4 - 6x³ + 2x² + 12x - 8

Du bestimmst f(√2) zu

f(√2) = √2^4 - 6*√2³ + 2*√2² + 12*√2 - 8

= 4 - 12 * √2 + 4 + 12√2 - 8

= 0

Also ist √2 eine Nullstelle

Du kannst also durch (x - √2) dividieren:

Da das absolute Glied aber 8 ist, also eine rationale Zahl, steht zu vermuten, dass auch - √2 eine Nullstelle ist:

( - √2)^4 - 6( - √2)³ + 2* (- √2)² + 12 ( - √2) - 8 = 4 + 12√2 + 4 - 12 √2 - 8 = 0

Also haben wir bereits zwei Nullstellen:

x_1 = √2 und x-2 = - √2

Damit muss sich der Term ohne Rest teilen lassen durch ( x + √2)(x - √2) = x² - 2

(3. binomische Formel)

Du teilst also NICHT durch x² - Nullstelle, sondern durch (x - Nullstelle 1)(x - Nullstelle2)

Ja, na klar teilst Du nicht durch (x - √2) oder durch ( x + √2),

weil Dir das vermutlich viel zu schwer fallen würde.

(Natürlich geht das, WENN man es KANN)

Du teilst eben gleich durch (x - √2)(x + √2) = x² - 2, weil BEIDES Nullstellen sind,

Hier kannst Du sehen, dass √2 UND √2 Nullstellen der Funktion sind:

http://www.fotos-hochladen.net/uploads/zweinullste...

@Gaston

Das ist ja öde!!

Kannst Du auch selber denken? Oder immer nur wolfram alpha eintippen?

Ist doch klar, dass das niemandem weiter hilft!

@KN

Schöne Polynomendivision! (DH)

Aber... DAS war nicht die Frage.

Hier wurde gefragt, WARUM man dieses Polynom durch (x² - 2) teilen muss und nicht durch (x - x_n)

Und die Begründung dafür ist eben, dass √2 UND - √2 BEIDES Nullstellen sind und man das Polynom deshalb durch ( x - √2) UND (x + √2), also durch (x - √2)(x + √2) =

(x² - 2) dividieren kann.

--(1, -6,,2,,12,,-8 )-----|-(1,,0,,-2,)

...-1,,0,,,2..........Q=......1,,-6,,4...

******************

,,,,0,,-6,,4,,12.....

.........6,,0,,-12...

*****************

.........0,,4,,,,0,,,-8,,,

............-4,,,,0,,,,8,,,

*********************

,,,,,,,,,,,,,0,,,,,0,,,,0,,,= Rest******solution ( X^2-6X + 4)

Du teilst immer durch die höchste Potenz und ziehst dann ab.

(x^4-6x³+2x²+12x-8) : (x²-2) =x² Jetzt musst du x^4-2x² abziehen

(-6x³+4x²+12x-8) : (x²-2) = -6x Jetzt musst du-6x³+12x abziehen.

Übrig bleibt nur noch 4x²-8. Das teilst du wieder und kommt 4 heraus

Das Ergebnis lautet also (x^4-6x³+2x²+12x-8) : (x²-2) = x²-6x+4

Guck Dir mal die Fallunterscheidung für die Alternate forms an: