Gegen was konvergiert diese Folge/Reihe?

@Tom: dass es nicht gegen 1 geht siehst du ja selbst ;)

den denkfehler hat dexter ja schon selbst erklärt: es ist nicht möglich einige variablen mit ∞ zu ersetzen und andere wiederum nicht... und wenn du jetzt für alle n "∞" einsetzt würdest du ja im prinzip durch e^∞ = ∞ teilen, was natürlich auch nicht wohldefiniert ist..

ist vielleicht ziemlich alternativ, aber...

ich hab so grenzwertbestimmungen mal in der stochastik gehabt, das waren sehr ähnliche fälle, da hat man versucht unbekannte folgen auf die standardnormalverteilung zurückzuführen:

und zwar kann man ja

..n

..Σ [(n^k)/k!] * e^-n

k=0

als die poissonverteilung zum parameter n betrachten, wobei hier die wahrscheinlichkeit von der zufallsvariable X<=n betrachtet wird.

wäre ja:

P(X=n) = e^-n * n^k/k!

darauf möchte ich nun den zentralen grenzwertsatz anwenden, deswegen versuche ich das mal in das format zu pressen:

vorraussetzung ist: die zufallsvariable X muss die summe von identisch verteilten zufallsvariablen x1,...,xn sein

dafür kann man ja einfach festlegen, dass die x1 bis xn alle poissonverteilt sind zum parameter 1, denn dann folgt ja direkt, dass die summe der zufallsvariablen x1 bis xn poissonverteilt sind zum parameter 1+...+1 (n-mal) = n

also gerade P(x1+...+xn = b) = e^-b * b^k/k!

(siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Poisson-Verteilung *Reproduktivität)

also:

P(x1+...+xn <= n) =

..n

..Σ [(n^k)/k!] * e^-n

k=0

das war jetzt vielleicht ein gedankenknoten aber jetzt ist es realtiv einfach, denn jetzt folgt ja aus dem zentralen grenzwertsatz, dass

X* := [((x1+...+xn) - erwartungswert) /standardabweichung]

in verteilung gegen die standardnormalverteilung konvergiert

(und dafür sind ja werte bekannt!)

" x1+...+xn <= n " soll gelten, das können wir zu X* standardisieren mit:

" X* <= [((n - erwartungswert) /standardabweichung] "

erwartungswert von der poissonverteilung ist ihr parameter, also gerade n

und standardabweichung die wurzel davon, also √n

(steht auch auf der wikipedia-seite ;) )

und jetzt einsetzen:

lim n->∞ P( X* <= (n-n)/√n )

ist ja einfach

lim n->∞ P( X* <= 0 )

und das geht ja gegen die standardnormalverteilung, also gegen Φ(0) = 0.5

(muss man ja nicht mal in einer tabelle nachschauen, man weiß ja dass die glockenkurve symmetrisch ist an der y-achse)

Also lange rechnung kurze erkenntnis:

................∞

.lim e^(-n)*{Σ [(n^k)/k!] = 0.5

n->∞.........0

hoffe mal da ist jetzt kein gravierender fehler drin :P

aber das deckt sich ja zumindest mit der erkenntnis von yuki :)

Das kann nur 1 ergeben, denn

..∞

..Σ [(x^k)/k!] = e^x (*)

k=0

für alle x∈|R.

Teilen wir diese Gleichung durch e^x und

setzen n für x ein, dann erhalten wir sofort

...............∞

lim e^(-n)*{Σ [(n^k)/k!] = 1

n->∞........0

================

P.S.: Die Gleichung (*) ist einfach nur die

Taylorreihenentwicklung von e^x an der

Stelle x=0.

Siehe z. B. hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe

@Wurzelgnom: Das denke ich auch! Ich hatte

auch noch eine andere Idee mit arcsin und

arccos, aber da hat sich das 1/2 leider raus-

gekürzt und ich kam wieder zum Ergebnis 1.

@Flave: Dein Ergebnis hat was => Daumen hoch!

habs mal in nen grafikprogramm eingegeben...

das geht gegen 0,5..

hoffe, das hilft weiter

Also ich habe jetzt mal die ersten acht Glieder ermittelt:

Das wären (näherungsweise)

a_0 = 1

a_1 = 0,735

a_2 = 0,67667

a_3 = 0,647

a_4 = 0,628

a_5 = 0,6159

a_6 = 0,606

a_7 = 0,5987

a_8 = 0,5925

http://www.fotos-hochladen.net/uploads/konvergente...

Wie man auch in der Grafik sieht, konvergiert die Reihe hier schon sehr stark.

Aber ich habe bisher überhaupt keine Peilung, gegen welchen Wert das streben könnte.

@Tom

Das war auch mein erster Gedanke.

Aber da MUSS ein Denkfehler drin sein.

Das Verhalten der Glieder spricht total dagegen.

@flave

Prima!

GENAU DAS ist es ja!!

Man kann den Grenzübergang nicht in zwei Schritten vollziehen.

Es war klar,

das der Denkfehler von Tom genau da liegen musste

(Genau darüber war ich ja auch gestolpert!)

Däumchen HOCH für Dich!

Ich hoffe, Du kriegst nun auch die BA!

(Habe es leider in der letzten Zeit häufig erleben müssen, dass es - wenn es denn erst zur Abstimmung kommt - hier nicht mehr mit rechten Dingen zugeht und die Frage schließlich gelöscht wurde.

Hoffentlich reagiert Dexter, bevor dieser Blödsinn wieder passiert!))