F (x) = x² - 4 x + 3 Scheitelpunkt Parabel?

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Wenn Du das verstanden hast, dann weißt Du, wie Tom auf die Koordinaten gekommen ist.

Berechne die Nullstellen der Funktion:

x^2 - 4x + 3 = (x - 1)*(x - 3) = 0,

also lauten die Nullstellen x1 = 1 bzw x2 = 3.

da die x-Koordinate des Scheitelpunktes "in der Mitte von x1 und x2" liegt: xs = 2.

ys = f(xs) = 2^2 - 4*2 + 3 = -1.

S(2/-1)

Du guckts einmal genau hin...

Wenn a,b Nullstellen einge Parabel sind, ist die Gleichung der Parabel

(x-a) (x-b) = x² - (a+b) x + a b

Jetzt ein Koeffizientenvergleich a*b = 3 und a+b = 4

Wenn a und b ganzzahlig sind, gibt es 2 Möglichkeiten 3 als a b zu erhalten: 1*3 und (-1)*(-3). Die Summe von 1 und 3 ist 4, also sind

a= 1 und b=3

die Nullstellen der Parabel

Der Scheitelpunt liegt GENAU in der Mitte der beiden Nullstellen, also bei

xs = (1 + 3)/2 = 2

und hat den Funktionswert

f(2) = 2² -4*2 +3 = -1

Gerade wenn das Glied ohne x eine Primzahl oder nur wenige Möglichkeiten der Produktbildung hat, lohnt es sich mal kurz genauer hinzuschauen. Eigentlich könnte man sofort das Kopfrechenergebnis hinschreiben, aber der Lehrer erwartet, dass man ihm noch zumindest skizziert, wieman im Kopf gerechnet hat...

1.

f´(x)= 2x - 4

f´(x)= 0

0= 2x - 4 | + 4

4= 2x | /2

2= x

2.

f(2)= 2^2 - 4*2 + 3 =-1

S(2/-1)

Gehe folgendermaßen vor:

1. Gleichung Null setzen!

2. Auf beiden Seiten 3 subtrahieren!

3. Links die quadratische Ergänzung bilden und das dabei entstehende Absolutglied auch auf der rechten Seite addieren!

4. Durch die quadratische Ergänzung entsteht auf der linken Seite ein Ausdruck, der sich in die Form der 2. binomischen Formel bringen läßt, z. B.: (a-b)*(a-b) = a^2 - 2ab + b^2. Es geht los:

1. x^2 - 4x + 3 = 0

2. x^2 -4x = -3

3. x^2 -4x + (-2)^2 = -3 + 4 du siehst, wir haben das Glied bei x halbiert und dann quadriert!

4. x^2 -4x + 4 = 1 daraus folgt (2. Binom)

5. (x - 2)^2 - 1 = 0 also liegt der Scheitelpunkt bei:

S (2|-1) fertig!

Der Scheitelpunkt ist S(2|-1).

1. Ableitung Null setzen