Mathe extremwertprobleme?

Question

hii
komme gerade nicht weiter, kann mir jmd helfen?
Wir haben im mom das thema extremwertprobleme angefangen und ein bsp durchgerehnet :
„quader mit 1dm³ volumen und quadratischer grundfläche soll einen minimalen oberflächeninhalt besitzen. → die oberfläche soll minimal werden, d.h. Es wird ein funktionsterm für den oberflächeninhalt gesucht.“
A2+B4 (=Oberflächeninhalt)
A(x)=2x²+4xy

 x²*y=1
 y=1/x²

|y in obere gleichung einsetzen
dann bekommt man
A(x)=2x²+4/x
jetzt man man ja nur noch eine variable
----
jetzt das ganze mit einer fehlenden seite, also einfach, dass es ein offener quader ist.
Ich habe angefangen mit:
A1+B4
A(x)=x²+4xy
jetzt weiß ich nicht mehr wie wir das gemacht haben …
also meine frage ist, wie man das y rausbekommt

Danke im Voraus :)

Zac Z · Accepted Answer

Du hast soweit alles richtig gemacht, bis auf die Tatsache, dass du die Einheit unter den Tisch fallen gelassen hast.
Besser wäre es, diese mit dazu zu nehmen. Dann sähe die Flächenformel so aus:
A(x) = 2x² + 4dm³ / x

Soweit, so gut.
Der eigentlich wichtige Schritt für die Bestimmung des Extremwerts steht aber noch aus. Um ein Extremum (hier genauer: ein Minimum) zu bestimmen, muss die erste Ableitung ja gleich Null sein (und fürs Minimum zusätzlich die zweite positiv). Es muss also gelten:
A'(x) = 0
Du bestimmst also die erste Ableitung, setzt sie gleich Null und löst nach x auf.
Die ermittelte Lösung x₀ setzt du dann in die zweite Ableitung ein, die an dieser Stelle positiv sein muss (damit es ein Minimum ist). Es muss also gelten:
A''(x₀) > 0

Hast du das x bestimmt, bei dem die Oberfläche minimal wird, erhälst du das zugehörige y mit Hilfe des Volumens, das du ja in Abhängigkeit von x und y kennst.

NACHTRAG:
Der untere Ansatz ist ein anderer. Wie du sagst beschreibt er einen offenen Quader, bei dem eine der quadratischen Seiten fehlt.
Wenn das so gefragt ist, ist der Ansatz schon korrekt. Aber aus der Aufgabe, so wie du sie hingeschrieben hast, lese ich nicht heraus, dass hier eine Seite fehlen soll. So etwas ungewöhnliches müsste explizit da stehen. Daher würde ich sagen, der untere Ansatz ist falsch.

Ich habe oben doch erklärt, wie man y herausbekommt: Zuerst das richtige x mit Hilfe der Ableitungen ermitteln und dann über die Volumenformel das y ermitteln. Was genau hast du daran nciht verstanden?
Falls es der letzte Schritt sein sollte, dann hast du doch im Ansatz das Volumen mit 1 dm³ gegeben.
Das Volumen deines Quaders (mit quadratischer Grundfläche) berechnet sich wiefolgt:
V(x,y) = x² y
Wenn du x und V kennst, dann kannst du ganz leicht nach y auflösen.

Sei mir nicht böse, aber ich habe den Eindruck, dass dir die Aufgabe prinzipiell nicht klar ist, nicht einmal die Grundzüge, geschweige denn die Ableitungen, die du nicht einmal am Rande erwähnst, um die es hier aber durchaus geht, die vielleicht sogar der Schwerpunkt der Übung sind.
Auf die Schnelle wirst du das hier nicht lernen können.
Lass dir das am besten noch einmal genau von deinem Lehrer erklären und/oder setz dich doch einmal mit ein paar deiner Mitschüler zusammen, um einige Übungsaufgaben durchzurechnen. Die können dir das möglicherweise besser erklären und außerdem bekämst du dann etwas Rechenroutine.
Ich weiß, das ist unangenehm, weil mit Arbeit verbunden, aber darum wirst du wohl nicht herum kommen.

Gruß,
Zac

Robert · Answer

Die OberflÃ¤che des Quaders berechnet sich wie folgt:
A = 2 * x^2 + 4 * xy

Das Volumen des Quaders ist somit:
V = x^2 * y

1 dm^3 = x^2 * y
y = 1 dm^3 / x^2

A = 2 * x^2 + 4x * 1/x^2
A = 2 * x^2 + 4/x

Nun muss das lokale Minimum berechnet werden.


Das lokale Minimum ist x = 1 dm.

Siehe aber die Berechnung des Extremwertes in der zweiten Quelle nach.
Quelle 1 zeigt die Funktion und noch mehr an.

Mathe extremwertprobleme?

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