Warum darf, wenn eine Wendestelle vorliegt die 3. Ableitung nicht =0 sein?

Darf sie DOCH!!!!!!!!!!!

Beispiel:

y = f(x) = x^5

f '(x) = 5x^4

f ''(x) = 20 x³

f '''(x) = 60 x²

f ''''(x) = 120 x

f ''''(x) = 120

In x_w = 0 liegt eine Wendestelle vor, aber

f ''(0) = 0

f ''''(0) = 0

f ''''(0) = 0

f '''''(0) = 120 ≠ 0

Also:

Wenn die Funktion so oft differenzierbar ist, muss die erste Ableitung, die von 0 verschieden ist, eine ungradzahlige sein.

In dem von mir genannten Beispiel ist das eben dann die fünfte Ableitung.

Viel sicherer ist es, die 2. Ableitung in der Umgebung der kritischen Stelle zu beobachten.

f ''(0) = 0

f '' (x) = 20 x³, also

f ''(x) < 0 für x < 0 und

f ''(x) > 0 für x > 0,

also wechselt die 2. Ableitung der Funktion in x_w = 0 ihr Vorzeichen von - zu +

Das heißt:

Der Graph ist für x < 0 rechtsgekrümmt

und für x > 0 ist er linksgekrümmt.

Definition eines Wendepunktes:

Der Graph einer Funktion hat an der Stelle xo einen Wendepunkt,

wenn in einer gewissen Umgebung von xo rechts und links von dieser Stelle

entgegengesetztes Krümmungsverhalten herrscht.

Mit anderen Worten: eine dreifach differenzierbare Funktion f(x) hat für f' ' ' ' (x) = 0 ein Minimum oder Maximum, also per Definition keinen Wendepunkt