aiuto con un integrale indefinito...mi aiutate?

2sin(x) cos(x) / [(cos(x) + 1)^2 + 4]

poni

(cos(x) +1 ) = t --> cos(x) = t -1 --> sin(x) dx = - dt

-2(t-1)/ [t^2 + 4]

-2 * [t/(t^2 +4) - 1/(t^2+4) ]

Il primo termine si integra così:

2*t/(t^2+4) --> ln(t^2 +4)

Il secondo termine è un arcotangente:

1/(t^2+4) = 1/4 * 1/[ (t/2)^2 + 1] --> 1/4* arctg(t/2)

Risultato:

- ln(t^2+4) + 1/2* arctg(t/2) +c

∫sin(2x)/(cos²x+2cosx+5) dx=

=∫2sinxcosx/(cos²x+2cosx+5) dx=

Sostituzione cosx=t --> -sinxdx=dt --> dx=-dt/sinx per cui

=-2∫t/(t²+2t+5) dt = --> integrale di una funzione razionale fratta con

Δ=4-4*5=-16<0. quindi operiamo per avere un numeratore che sia la derivata del denominatore

t/(t²+2t+5)=2(t+1-1)/2(t²+2t+5)=

=(2t+2)/2*(t²+2t+5)-1/(t²+2t+5) ritornando all'integrale

--> = 2/2∫(2t+2)/2*(t²+2t+5)+

-2∫1/(t²+2t+5) dt=

=ln|t²+2t+5|-2∫1/(t²+2t+5) dt= essendo il trinomio sempre positivo Δ<0

=ln(t²+2t+5)-2∫1/(t²+2t+5) dt=-->= svolgiamo quest'ultimo integrale

2∫1/(t²+2t+5) dt= Esistono due costanti k,m∈R tali che

t²+2t+5=(t+k)²+m² -->

t²+2t+5=t²+2kt+k²+m² -->

k=1; m²=4 per cui

2∫1/(t+1)²+m² dt= integrale notevole che vale

=2*1/2*arctg(t+1)/2 +c =arctg(t+1)/2 +c

Sommandolo con il primo integrale si ottiene

=-->=ln(t²+2t+5)-arctg(t+1)/2 +c ritornando alla variabile originale

=ln(cos²x+2cosx+5)-arctg(cosx+1)/2+c