Hausaufgaben Mathematik Ebenen?

1. Berechne den spitzen Winkel zwischen den Ebenen α und β:

α: x - 2y + 2z - 1 = 0 und β: 2x + 3y - 6z +6 = 0

Der Winkel zwischen den Ebenen ist der selbe wie der Winkel zwischen den Normalvektoren der Ebenen. Den Winkel berechnet man mit der Formel cos(phi) = (n1*n2)/(|n1|*|n2|)

n1 = (1/-2/2) und |n1| = 3 = Wurzel(1² + 2² + 2²)

n2 = (2/3/-6) und |n2| = 7

=> cos(phi) = -16/21 => phi = 139,63..° => spitzer Winkel = 180° - phi = 40,367..°

2. Im Punkt A (3/-5/3) soll ein von P (-1/-3/7) kommender Lichtstrahl nach Q (-5/3/-1) reflektiert werden. Wie heisst die Gleichung der Ebene, an der reflektiert wird?

Der Normalvektor der Ebene ist die Winkelsymmetrale z. B. der Vektoren AP und AQ.

AP = (-4/2/4) = 2*(-2/1/2)

und AQ = (-8/8/-4) = 4*(-2/2/-1)

Winkelsymmetralenvektor = (-2/1/2) + (-2/2/-1) = (-4/3/1)

=> Gleichung der Ebene durch A: (-4/3/1)*X = (-4/3/1)*(3/-5/3)

=> 4x - 3y - z = 24

3. Wie heissen die Koordinatengleichungen der Parallelebenen zur Ebene mit der Gleichung

6x - 3y + 2z + 7 = 0, die von dieser Ebene den Abstand 3 haben.

Wir schreiben zuerst die Ebenengleichung in die Heß´sche Normalform (HNF) um:

(6x - 3y + 2z + 7)/Wurzel(6² + 3² + 2²) = 0

Da ich mit der HNF den Abstand eines Punktes von einer Ebene berechne, setze ich diese HNF einmal = +3, einmal -3.

=> 6x - 3y + 2z = -28 oder 6x - 3y + 2z = 14

4. Eine Pyramide hat als Grundfläche das Dreieck A(4/-1/3), B (2/1/5), C(-1/-2/0) und die Spitze S (0/-5/5). Berechne die Länge der Höhe der Pyramide und die Koordinaten des Spiegelpunktes von S bezüglich der Ebene ABC.

AB = (-2/2/2) und BC = (-3/-3/-5)

Den Normalvektor der Ebene ABC erhalte ich durch das vektorielle Produkt AB x BC

AB x BC = (-4/-16/12) = 4*(-1/-4(3)

Ebenengleichung: (-1/-4/3)*X = >(-1/-4/3)*(-1/-2/0)

oder E: x + 4y - 3z = -9

Die auf die Ebene normale Gerade durch S (Höhe) hat daher die Gleichung:

h: X = (0/-5/5) + t*(-1/-4/3)

Schneide ich nun h mit E, erhalte ich die Gleichung:

-t + 4*(-5 - 4t) - 3*(5 + 3t) = -9 => t = -1

=> Fußpunkt F der Höhe F(1/-1/2)

Länge der Höhe = |FS| =|(1/4/-3)| = Wurzel(26)

Den Spiegelpunkt S´ erhalte ich durch einfache Vektorenaddition:

S´ = S + 2*SF = (2/3/-1)

5. Welche Punkte der Geraden g:X = (0/2/-3) + t(-1/2/1) haben von den Ebenen α: 2x +2y +z + 1=0 und β: 2x - y +2z -1=0 gleiche Abstände?

Die gesuchten Punkte müssen auf den Symmetrieebenen von α und von β liegen. Ich setze daher die beiden HNF positiv und negativ gleich:

(2x + 2y + z + 1)/3 = (2x - y + 2z - 1)/3 bzw. (2x + 2y + z + 1)/3 = -(2x - y + 2z - 1)/3

Daraus folgen E3: 3y - z + 2 = 0 und E4: 4x + y + 3z = 0.

Schneide ich nun g mit E3 und E4, erhalte ich für t = -11/5 bzw. t = 7

=> S1 und S2

6. Gegeben sind die vier Punkte A(1/1/2), B (-2/0/3), C (3/-1/-2) und D (0/3/3). Bestimme den Punkt auf der Normalen durch A zur Ebene ABC, der von C und D gleiche Abstände hat.

AB = (-3/-1/1) und AC = (2/-2/-4)

AB x AC = (6/-10/8) = 2*(3/-5/4)

Normalengleichung: n: X = (1/1/2) + t*(3/-5/4)

Jetzt brauchen wir die Symmetrieebene von C und D.

M(CD) = (C + D)/2 = (1,5/1/0,5) und CD = (-3/4/5)

Gleichung der Symmetrieebene: (-3/4/5)*X = (-3/4/5)*(1,5/1/0,5)

oder -3x + 4y + 5z = 2

Wir schneiden nun die Symmetrieebene mit n:

-3*(1 + 3t) + 4*(1 - 5t) + 5*(2+ 4t) = 2

=> t = 1 => gesuchter Punkt P(4/-4/6)

7. Gegeben sind die Ebenen 2x - y + 3z + 4 = 0 und x + y - 2z -3 = 0 und ein Punkt P (2/0/-1). Gesucht ist eine Parameterdarstellung der Geraden, die durch P geht und zu beiden Ebenen parallel ist.

Der Richtungsvektor v der gesuchten Gerade muss auf die beiden Normalvektoren normal stehen.

v = (2/-1/3) x (1/1/-2) = (-1/7/3)

Gleichung der gesuchten Gerade: X = (2/0/-1) + t*(-1/7/3)

Ich hoffe, ich habe dir helfen können. Solltest du noch Fragen haben, dann bin ich auch gerne bereit, sie zu beantworten.

Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet.

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Dort kannst du das alles berechnen lassen. Das Programm zeigt dir auch die einzelnen Rechenschritte an. Auch in einer graphischen Darstellung wenn du das wünschts.

Damit kann man wunderbar üben.