mi potreste aiutare con questa serie?

Question

determinare il carattere della seguente serie al variare del parametro alfa appartente ad R 

∑ (sin alfa)^n (la serie va da n=1 a +infinito)

cmcsafe · Accepted Answer

La serie ∑xⁿ con n da 0 a +oo è nota come serie geometrica. Ad essa facciamo riferimento.

1. Se α=π/2+2kπ --> sinα=1. Se x=1 la serie ∑xⁿ =+oo.

La ns. serie inizia da 1 ma noi sappiamo che il carattere di una serie non è influenzata dal punto di partenza. (il carattere non la somma).

Conclusione La serie data è divergente a +oo.

2. Se α=3π/2+2kπ --> sinα=-1. Se x=-1 la serie ∑xⁿ è oscillante.

La ns serie oscilla infatti i termini valgono

-1,+1,-1,+1,...etc.

3. Se α≠π/2+2kπ V α≠3π/2+2kπ --> -1<sinα<+1

Sappiamo che Se -1<x<1, cioè |x|<1 allora la ∑xⁿ converge a 1/(1-x) dove x è la ragione della serie geometrica. Nel nostro caso:

3.1 x=sinα

3.2 (sinα)º=1 termine che dobbiamo sottrarre visto che la nostra somma non lo include quindi

∑sinα [1;+oo] =[1/(1-sinα)]-1= sinα/(1-sinα).