Trapezverfahren wie geht das?

Bei dem Trapezverfahren wird die Funktion f(x) im Intervall [a,b] durch ein Polynom 1. Grades, d.h. eine lineare Funktion ersetzt, die f(x) an den Stützstellen a und b, also am linken und rechten Rand des Integrationsintervalls, interpoliert

mit ∫ meine ich jetzt "Integral von a bis b"

∫f(x)dx ≈ ((b - a)/2) * ( f(a) + f(b) )

Oder für n Teile [a,x1],[x1,x2] ... [xn-1,b]

∫f(x)dx ≈ ((b - a)/n) * ( (f(a)/2) + f(x1) + ..... + f(xn-1) + (f(b)/2) )

So hast Du die Fläche unter einer Kurve in viele Trapeze aufgeteilt.

Dein Beispiel

f(x) = x²

a = 1

b = 4

∫x² dx (von a bis b) = (4³/3) - (1³/3) = 21 ... Das ist also das exakte Ergebnis, an das wir nahe ran wollen

Mit nur einem Intervall:

∫f(x)dx ≈ ((b - a)/2) * ( f(a) + f(b) ) = ((4 - 1)/2) * (4² + 1²) = (3/2) * 17 = 25,5

Das ist nur eine Grobe Näherung, da das Intervall sehr groß ist. Daher verkleinern wir die Intervalle und erhöhen ihre Anzahl:

a=1

b=4

x1 = 2

x2 = 3

d.h. n = 3, da sind ja 3 Intervalle zwischen 4 Punkten

∫f(x)dx ≈ ((b - a)/n) * ( (f(a)/2) + f(x1) + ..... + f(xn-1) + (f(b)/2) ) = ((4 - 1)/3) * ((1²/2) + 2² + 3² + (4²/2)) = 21,5

Also schon näher dran. Und so weiter.

Nachtrag: Das Integral einer Funktion f(x) von a bis b ist die Fläche unter der Kurve von a bis b. Diese Fläche wird durch Trapeze angenähert. Je mehr Trapeze und umso schmaler die sind, umso besser kommst Du ran. Zeichne es Dir mal auf, dann verstehst Du es gleich. Wenn Du ein Intervall hast, ist dessen Fläche eben ((b - a)/2) * ( f(a) + f(b) )