Mathe - Extrema berechnen mit der zweiten Ableitung?

"Gibt es irgendeine Möglichkeit aus der zweiten Ableitung die Extrema zu berechnen?"

Du kannst die Extrema bestimmen, allerdings gibt es keine "schöne" Lösung, sondern nur eine, die von zwei Variablen abhängig ist.

Das ist deshalb so, weil es unendlich viele Funktionen gibt, deren 2. Ableitung -x+1 ist und somit einen Wendepunkt bei x=1 haben.

Hier zwei Beispiele:

f(x) = 1/6 x³ + 1/2 x²

g(x) = -1/6 x³ + 1/2 x² + 24 x - 5

Hier siehst du die Graphen beider Funktionen: http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+-+1%2F6+...

Hier siehst du die beiden Funktionen mit den jeweiligen Wendetangenten bei x=1:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+-+1%2F6+... und http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+-+1%2F6+...

Die erste Ableitung lässt sich aus der zweiten Ableitung durch Integration* bestimmen:

f''(x) = -x + 1

--> f'(x) = - 1/2 x² + x + C

C ist die sogenannte Integrationskonstante, die (ohne weitere Informationen) jeden beliebigen Wert annehmen kann.

Analog kann man dann durch nochmaliges Integrieren auch die Ursprungsfunktion bestimmen:

f(x) = - 1/6 x³ + 1/2 x² + C x + D

Wie du siehst, enthält diese Funktion zwei Variablen (zwei Integrationskonstanten), die ohne weitere Informationen völlig frei wählbar sind. Für alle konkreten Kombinationen** von C und D liegt der Wendepunkt bei x=1, die Koordinaten der Extrema sind jedoch abhängig von C und D, weswegen es wie gesagt keine "schöne" Lösung gibt.

Wenn du die Extrema in Abhängigkeit von C und D bestimmen willst, so musst du zuerst die Gleichung f'(x)=0 in Abhängigkeit von C lösen:

x = 1 ± √(2C + 1)

Den zugehörigen y-Wert bekommst du, indem du die beiden Lösungen in die Ursprungsfunktion -x³/6+x²/2+Cx+D einsetzt:

f(x) = (±√(2C+1)³ + 3(C+D) + 1) / 3

So erhälst du die beiden Koordinaten in Abhängigkeit von C und D:

E (1±√(2C+1) | (±√(2C+1)³+3(C+D)+1)/3)

"möchte die Aufgabe hier einfach, dass man sagt das man mit den gegebenen Informationen keine näheren Angaben zu den Extrempunkten machen kann?"

Wie du siehst, sind die beiden Koordinaten (man beachte die Plusminuszeichen!) ein bisschen aufwändigere Terme, wenn man sie manuell ermitteln muss. Man kann also durchaus nähere Angaben zu den Extrempunkten machen, aber ob du sie in Abhängigkeit zu C und D ermitteln sollst, müsstest du mit deinem Lehrer absprechen.

Hoffe, ich konnte etwas weiterhelfen. :-)

Gruß,

Zac

* Ich lese in letzter Zeit immer mal wieder den Begriff "Aufleitung"; dieser Begriff ist eine falsche Analogiebildung zur "Ableitung", korrekt heißt das "Integration". Entsprechend "integriert" man Funktionen, man "leitet" sie NICHT "auf"!!!

** In meinen zwei Beispielen habe ich für C und D einmal 0 und 0, bzw. 24 und -5 gewählt.

Ich schreib darüber demnächst eine Schularbeit :)

Ist das Ergebnis der zweiten Ableitung > 0 ist die Krümmung positiv (LINKS KURVE), ist es < 0 ist die Krümmung negativ (RECHTS KURVE) und ist das Ergebnis = 0 dann ist das der Wendepunkt (was ein Wendepunkt ist weißt du hoffentlich?). Das heißt also, dass deine Funktion bei x=1 einen Wendepunkt hat !

Erlich gesagt haben wir das nicht gemacht, dass man aus der zweiten Ableitung die Extrema berechnet, du kannst nämlich von der zweiten Ableitung NICHT auf die erste schließen, weil ja wenn z.B. f ' (x) = -x² + x + 1 dann fällt beim Bilden der zweiten Ableitung der Einser weg, sprich du weißt nicht welche Zahl weggefallen ist. Sollte es trotzdem möglich sein wäre das super, also die Angabe schickt bisschen Information vorweg und die lässt sich bilden.

Weil wenn f ' (x) = 0 & f " (x) > 0 dann hast du an der Stelle den Tiefpunkt und

f ' (x) = 0 & f " (x) < 0 dann hast du an der Stellen den Hochpunkt.

Ich hoffe du kommst damit weiter!

Hm, du hast das Problem doch selbst schon erkannt oder etwa nicht? :)

Die Funktion "f(x)" ist unbekannt, sowie die erste Ableitung "f'(x)". Da wo die 2. Ableitung eine Nullstelle hat, existiert bei einer Funktion f(x) eine Wendestelle. Also musst du für Wendestellen die gegebene Funktion erstmal gleich 0 setzen.

-> -xW+1=0 | Das formst du um^^

<-> -xW = -1 | und nun mal -1

<-> xW = 1

Daraus folgt für dich, dass die nicht angegebene Funktion f(x) eine Wendestelle bei X=1 hat. Um das zu bestätigen muss auch die 3. Ableitung ungleich Null sein, das ist sie, denn -x+1 abgeleitet ist -1 und -1 ist ungleich Null.^^

Das wäre es halt zu den Wendestellen.

Bei den Extremstellen möchte ich dich zuvor erst fragen, ob Ihr schon mit Integralen (Stammfunktion bilden, hier partiell) gearbeitet habt? Je nachdem, wie du auf diese Frage antwortest, weiß ich, wie ihr da (höchstwahrscheinlich^^) ran gehen sollt. :)

("wie müsste die Funktion aussehen, damit f ' '(x) beim Ableiten rauskommt? -> -x²/2 + x" *hust*)

Genauso wie man aus der ersten Ableitung die zweite ableiten kann kann man aus der zweiten auch wieder auf die erste aufleiten. Damit solltest du dann auch deine Extrempunkte bestimmen können.

Kann man hieraus Informationen über die erste Ableitung gewinnen?

Eine 2. Abl. ist die 1. Ableitung der 1. Ableitung der Funktion. Wenn man für f' einen allgemeinen Ansatz macht - allerdings mit unbekanntem konstanten Glied h - ,

ax³ + b x² + c + h

kann man einige der a, b, c bestimmen, wenn man f''(x) = -x + 1 ausnutzt. Dann kann amn weiterrechnen - schleppt aber immer das unbekannte konstante h mit.

Man kann auch Rückschlüsse auf Existenz und Anzahl von Wende- und Extrempunkten ziehen. Vermutlich soll nur das gemacht werden. Da f'' weniger als 2 Nullstellen hat , kann man schon zu soclhen Eingrenzunegn gelangen.

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an lucky... "Was läasst sich über Wendepunkte und Extrempunkte des Graphen von f aussagen?"

Die Aufagbe verlnagt nur: "Was lässt sich aussagen". Angaben zu Existenz und Anzahl von Extrem- /Wendepunkten sind doch auch schon 'was.