Frage zu einer Mathe-Mengenlehre-Aufgabe?

Man kann soetwas grundsätzlich mit dem VENN-Diagramm lösen.

Aus dem ersten Satz ist nur die Summe von 25 Studenten interessant, der Rest ist logisch (wegen des folgenden Absatzes).

Du zeichnest also ein VENN-Diagramm, das aussieht wie die "Farbmischung" (→Grafik von SonGohan ist richtig), also drei Kreise, in deren Mitte sich alle drei überschneiden, wo wir die "genau 2" Studenten eintragen, die M, P und C studieren (haben bestimmt nicht mit Zeichnen, Singen und Turnen ihr Abi gemacht!).

Nun bezeichnen wir die (Teil-)Mengen wie folgt:

M - Menge der Studenten, die NUR M studieren

P - Menge der Studenten, die NUR P studieren

C - Menge der Studenten, die NUR C studieren

MP - Menge der Studenten, die M UND P (und nicht C) studieren

MC - Menge der Studenten, die M UND C (und nicht P) studieren

PC - Menge der Studenten, die P UND C (und nicht M) studieren

Dann kann man folgende Gleichungen aufstellen:

25 = M + P + C + MP + MC + PC + 2 ← alle Studenten

14 = M + MP + MC + 2 ← alle, die in der M-Vorlesung sitzen

10 = P + MP + PC + 2 ← alle, die in der P-Vorlesung sitzen

X = C + MC + PC + 2 ← alle, die in der C-Vorlesung sitzen (X gesucht!!!)

8 = MP + MC + PC + 2 ← alle, die mehr als ein Fach studieren

Jetzt haben wir zwar lediglich lineare Gleichungen,

aber es sind auch nur nur fünf Gleichungen,

während es mit M, P, C, MP, MC und PC sechs Variablen sind.

P.S.

Ja, es ist schön zu sehen, dass es noch anderen so geht, dass sie eine Aufgabe nicht loslässt! Und ein bisschen vom Helfersyndrom haben wir doch (fast) alle in uns...

Die Idee von Robin ist gut, die Anzahl der Fach-Wahlen zu addieren.

Es sind also insgesamt 35 Kurse (M, P C) gewählt worden.

(Das steckt in meiner ersten Gleichung.)

Man muss die folgende Schnittmenge besonders beachten:

8 = 2 + MP + MC + PC (das Innere der Grafik)

Daraus ergibt sich für M + P = 25 - C - 8 bzw. für die Anzahl der gewählten Kurse:

C = 35 - { [(14+10)-8] ⋅1 + (8-2)⋅2 + 2⋅3} = 35 - (16 + 12 + 6) = 1

Das heißt, dass GENAU 1 Student NUR C studiert.

Stellt man dieselbe Rechnung für M bzw. P an (mit C=1), erhält man diese einfache, aber auch nicht sonderlich neue) Beziehung: M+P = 16

= = = = = Nun sag' ich: "Was kümmert mich mein Geschwätz von gestern?"

Denn jetzt hab ich's auch 'raus:

14 = M + MP + MC + 2 ← alle, die in der M-Vorlesung sitzen

10 = P + MP + PC + 2 ← alle, die in der P-Vorlesung sitzen

——

24 Studenten sind das, woraus direkt wieder C=1 folgt.

Wenn wir die Grafik betrachten und versuchen, auf die Summe der Kurse (35) zu kommen, sehen wir zunächst, dass mit den 24 Studenten eben schon 24 Kurse abgedeckt wurden,

dabei sind die (Teil-)Mengen MP sowie die 2 von "MPC" schon doppelt "drin".

MC und PC sind (bisher) nur EIN Mal erfasst worden, und "MPC" muss noch ein drittes Mal dazu; außerdem haben wir noch den einen Studenten, der NUR C belegt hat.

Diese "Fehlenden" müssen nun zusammen die restlichen 11 Kurse ausmachen. Und diese alle zusammen sind ja gerade die Menge, die die GESAMTHEIT aller in C Eingeschriebenen ausmacht, also: MP + PC + 2 + C = 11 ← Das ist X!

Antwort 11 ist richtig!

Falsch!

Also:

25 studieren wenigstens 1 Fach

-> davon haben 8 mindestens 2 Fächer

-> und von den 8 Studenten wiederrum haben nur 2 Studenten alle 3 Fächer

dh: 6 haben 2 Fächer und 2 haben alle 3 Fächer

-> Wenn wir wissen, dass 2 von 25 -> alle 3 Fächer haben(2*3) und dass 6 von 25 -> 2 Fächer haben(6*2), dann bleiben uns 17 Studenten, die logischer Weise nur 1 Fach belegen können(17*1).

Ich fasse zusammen: (2*3) + (6*2) + (17*1) = 35 ->also-> werden die 3 Fächer insgesamt 35 mal von den Studenten belegt ->davon-> gem. deiner Vorgabe wird: 14 mal Mathe und 10 mal Physik belegt ->bleiben noch übrig-> 11 Belegungen ->also-> 11mal Chemie

Gruß Robin

PS:@ Ray Barone: Egal wie man es dreht und wendet, aber 13 kommt leider in keinem Falle heraus!

und@Ossessin..: danke für das nette Lob :D

Wir rechnen aus wieviele Teilnehmer es insgesammt gibt:

Die 2 die alle 3 haben: 6

Die 6 (8-2) die 2 haben: 12

Der Rest(25-2-6=17), der nur 1 hat: 17

=> 6+12+17=35

Davon sind 14 Mathe und 10 Physik. Der Rest ist dann chemie:

C= 35-14-10=11

=> 11 schüler haben chemie

Ich habe es hier versucht zu lösen:

http://www.bilder-upload.eu/show.php?file=8d7c31-1...

Rechts forme ich nur um, sodass ich die unbekannten rausfinden kann. Hoffe du siehst, was ich gemacht hab. :)

Ich bin auf die Lösung 18 gekommen.

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Ist aber glaub ich falsch. :) :) Hab keinen Bock das nochmals zu machen. Du hast ja noch eine andere Lösung. :P

Genau 2 haben alle (Also auch Chemie)

Genau 8 haben mindestens zwei

D.h. 15 Leute studieren nur ein Fach.

Es kann also sein, dass 8 Leute Mathe UND Physik machen und 4 Leute NUR Mathe. In dem Fall wären es 11, die NUR Chemie machen (plus die 2, die alles machen). Sind 13

Andere möglichkeit: Die 8 mit zwei Studiengängen machen alle Chemie plus was anderes (z.B. Physik). Dann wären keine Physiker (8 mit Physik und Chemie, 2 mit allen) mehr übrig, die kein zweites Fach studieren. Bleiben also 12 mit NUR Mathe und 3 mit Chemie. Sind in dem Falle auch 13 (2 mit allem, 8 mit Physik/Chemie, 3 nur Chemie)

Mal angenommen, die doppelten Studieren alle Mathe und Chemie. Bleiben noch 2 Mathematiker (Nur Mathe und 10 Physiker (Nur Chemie) übrig.

-> 2 mit allem, 8 mit Mathe/Chemie, 2 nur Mathe, 10 nur Physik, fehlen also noch 3 nur Chemie.

Sind ebenfalls 13.

Also egal wie man es dreht und wendet (Es können ja auch jeweils Studenten Mathe/Physik oder Mathe/Chemie wählen), man kommt immer auf 13 Chemiestudenten!

Man kann dass garnicht genau sagen da keine genaue Angabe steht welche Fächer es sind die belegt worden sind von den 8 die mindetens zwei fächer gewählt haben.