Mengenlehre injektiv surjektiv...?

Hallo!

"f ist surjektiv"

Das ist eine wichtige Voraussetzung, die man auf alle Fälle für den Beweis benötigt. Wäre f nicht surjektiv, würde daraus "g°f ist injektiv" nicht notwendigerweise folgen, dass g injektiv ist.

Dazu gebe ich Dir gleich ein Beispiel.

Wenn Du etwas zeigen sollst, kannst Du davon ausgehen, dass keine gegebene Voraussetzung egal oder zu vernachlässigen sei. Du musst das anwenden.

Erstmal, was bedeutet "die Komposition g°f ist injektiv" ?

Seien

f: X -->Y und g: Y -->Z

zwei Abbildungen zwischen jeweils nicht leeren Mengen X,Y und Z.

Die Komposition g°f ist dann def. als eine Abb. von X nach Z,

g°f : X -->Z, definiert durch

g°f(x) := g(f(x)) (= z) , für alle x aus X.

(Damit wir über dasselbe Thema sprechen.)

Sei nun diese Komposition injektiv (<-- Was bedeutet das, wie habt Ihr das definiert?)

Für zwei verschiedene x1,x2 aus X folgt, die Bilder unter dieser Abb. sind verschieden.

Wahrscheinlich so

Sei x1,x2 aus X

g°f ist injektiv <==> (genau dann, wenn...)

Aus x1 ≠ x2 ==> (folgt) g(f(x1)) ≠ g(f(x2))

oder durch Kontraposition:

z1 = g(f(x1)) = g(f(x2)) = z2 ==> x1 = x2

<==> g°f ist injektiv

(Sind die Bilder gleich, dann auch ihre Urbilder)

Dies sei also eine gültige Voraussetzung.

Dass g°f injektiv ist, sagt überhaupt nichts darüber aus, was nun für f(x1) und f(x2) gilt.

Wäre z.B. f nicht surjektiv.... (das versprochene Gegenbeispiel )

|R+ , die Menge der positiven reellen Zahlen

f : |R+ --> |R, def. durch f(x):= √x = y, für alle x aus |R+

f ist nicht surjektiv, da es für z.B. negative y aus |R, kein x aus |R+ gibt, so dass f(x) = √x = y gilt.

(Für die Surjektivität einer Abb gibt es zu jedem Bild f(x)= y ein x aus X.

Das ist in diesem Fall nicht möglich.)

Sei zusätzlich

g : |R --> |R+, def. durch g(y):= y² , für alle y aus |R.

Diese Abb. ist offensichtlich nicht injektiv (da z.B. g(-2) = 4 = g(2) gilt,

zwei verschidene y1, y2 , aber beide auf 4 abgebildet g(y1) = 4 = g(y2) ...)

Dennoch ist die Komposition g°f injektiv, da die Identität auf X injektiv ist

(g°f)(x) = g(f(x)) = g(√x ) = (√x )² = x

Siehst Du, die Surjektivität von f ist eine wichtige Voraussetzung, dass aus g°f ist injektiv auch g injektiv folgt.

Also, wie gesagt, benötigst Du die Voraussetzung "f ist surjektiv", denn dann gilt...

Für x1, x2 aus X

||.......g°f ist injektiv <==>

||...... x1 ≠ x2 ==> g(f(x1)) ≠ g(f(x2))

|| und f ist surjektiv

|| ......<==> Zu jedem y aus Y gibt es ein x aus X mit f(x)=y

(Oder etwa ...zu jedem y1 gibt es ein x1 mit f(x1) = y1, entsprechend

zu jedem y2 gibt es ein x2 mit f(x2) = y2)

Zusammengebastelt folgt die Injektivität von g:

x1 ≠ x2 ==> g(f(x1)) ≠ g(f(x2))

y1 ≠ y2 ==> g(y1) ≠ g(y2)

Ok?

Es geht aber auch durch Kontraposition, d.h. Du zeigst:

g ist nicht injektiv ==> f ist nicht surjektiv oder g°f ist nicht injektiv

Beweis:

Sei g nicht injektiv, d.h. y1 ≠ y2 ==> g(y1) = g(y2),

wenn f nicht surjektiv, sind wir fertig.

Sei also f surjektiv angenommen.

Zu zeigen ist dann, g°f ist ebenfalls nicht injektiv.

So genug jetzt mit dem Beweisen. Das Thema Abbildungen und ihre Eigenschaften (f injektiv und surjektiv <==> f bijektiv <==> genau dann, wenn (Satz über die Charakerisierung invertierbarer Abb.) f invertierbar, umkehrbar), ist wirklich ein wichtiges Grundthema der Mathematik und wird Dir in Deinem Studium noch öfter begegnen, solltest Du Dir also an vielen Beispielen klarmachen.

Ich hoffe, ich konnte Dir mit meiner Antwort weiterhelfen.

Gruß

Voraussetzungen:

f surjektiv , g°f injektiv

Zu zeigen:

g injektiv

Beweis:

#######

Sei g(x1) = g(x2) für zwei Zahlen x1 und x2.

Um g als injektiv nachzuweisen, muss man jetzt zeigen, dass x1 = x2 gilt.

Und los geht's:

Da f surjektiv ist, gibt es Zahlen

w1 und w2

sodass x1 = f(w1) und x2 = f(w2),

also ist auch

g(x1) = g( f(w1) ) und g(x2) = g( f(w2) ).

Da g°f injektiv und

g( f(w1) ) = g( f(w2) ) ist,

gilt f(w1) = f(w2)

und damit auch x1 = x2

qed.

Kein Mensch konnte es mir erklären, sodass ich es verstanden hätte.

Dann hab ich selbst ein bisschen gesucht und bin auf folgende Seite gestoßen:

http://www.lernen-einmal-ganz-anders.de/elearning/...

Echt sehr gut und einfach erklärt.