Wo ist der Fehler (Steckbriefaufgabe)?

Question

Hey,
ich komme relativ gut mit Steckbriefaufgaben klar. Heute als wir in unserer Freistunde für die morgige Klausur lernen wollten sind wir an dieser Aufgabe hängen geblieben und möchte gerne, noch vor der Klausur, den richtigen Lösungsweg erfahren. :)

Es heißt, dass der Koordinatenursprung der Wendepunkt ist und das der Hochpunkt bei H(3|2) liegt. Es sind Funktionen 3. Grades. Mehr ist nicht gegeben. 

Daraus ergibt sich ja: 

P1 (0) = 0      Wendepunkt erstmal als ein ganz normaler Punkt
W ' ' (0) = 0    Wendepunkt (hier stimmt vllt was nicht :S)
P2 (3) = 2      Hochpunkt als ein ganz normaler Punkt
H ' (3) = 0      Hochpunkt

P1 (0) =                                                               d = 0
W'' (0) = 6a*0 +2b=                                       2b       = 0        (ich glaub, hier liegt der Fehler :S )
P2 (3) = a*3^3 + b*3^2+c*3=                 27a + 9b + 3c= 2
H' (3) = 3a*3² + 2b*3 + c = 0                                   c=0

Ich bin dem Genie sehr verbunden, der mir den richtigen Lösungsweg zeigen kann. :))

qm_sirius · Accepted Answer

Fangen wir mal mit der Fkt. 3. Grades an:

f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f'(x) = 3ax² + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b

Wir wissen aus der Angabe Wendepunkt bei (0/0) zwei Sachen:

f(0) = 0
0 = a*0 + b*0 + c*0 + d  Also ist d = 0

und f''(0) = 0 
0 = 6a*0 + 2b  Also ist auch b = 0

Zusammenfassung: f(x) = ax³ + cx 

Nun an den Hochpunkt H(3/2)

f(3) = 2
2 = a*27 + c*3

und 

f'(3) = 0
f'(3) = 3*a*9 + c = 27a + c =0 --> c = -27a

Das setzen wir in die Gleichung f(x) = ax³ + cx mit H (3/2) ein

2 = a*27 + (-27a)*3 = 27a-81a = -54a

a = -1/27

Und da c = -27a folgt c = 1

Ergebnis: f(x) = -1/27*x³ + x  

Aber überprüfe nochmal, ob ich irgendwo einen Vorzeichenfehler habe

KN · Answer

Deine Funktion hat die Form 

f(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d

Aus P1 (0) = 0:
f(0)=a*0^3+b*0^2+c*0+d = d = 0 

folgt d=0 

Aus W ' ' (0) = 0

f ''(x) = 2 b+ 6 a x
f ''(0)  = 2 b +  6 a 0 = 2 b = 0

folgt b=0

Aus P2 (3) = 2 unter berücksichtigung von b=0 und d=0 

f(3)=a x^3+ c x = 27 a + 3 c = 2  

Aus H ' (3) = 0 unter berücksichtigung von b=0 und d=0 

f '(x)= 3 a x^2 + c
f '(3) = 27 a + c = 0

Bleibt noch das gls

27 a + 3 c = 2  
27 a + c = 0

zulösen. 1. Gl-2.Gl ergibt

2c =2

also

c=1

einsetzen in 2. liefert

27 a + 1= 0

also

a=-1/27

Somit lautet das

f(x)=-1/27 x^3+ x

limbo · Answer

deine frage 
daraus  ergibt sich eine klare 6

Wo ist der Fehler (Steckbriefaufgabe)?

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