Wie finde ich alle Lösungen von z^4-z^3+z-1=0 ?

Question

Tom · Accepted Answer

Erst genau hinschauen, dann erkennen und jetzt 
ausklammern:
(z-1)*z³+(z-1)*1=0
Nochmals ausklammern:
(z-1)*(z³+1)=0
Satz vom Nullprodukt anwenden:
1.Fall: z-1=0
<=> z1=1
========
2.Fall: z³+1=0 
-1 rechnen:
z³=-1
3te Wurzel ziehen:
z2/3/4=-1
========

Lösungsmenge hinschreiben:
L={-1|1}
======

@Wurzelgnom: Ja Du, jetzt dämmert's 
wieder: Mit x³+1=0 haben wir die Kreisteilungs- 
gleichung dritten Grades, welche die von Dir 
genannten 3 Einheitswurzeln hat. 
Daumen hoch!

qm_sirius · Answer

2 Nullstellen raten, dann Polynomdivision

Wurzelgnom · Answer

NatÃ¼rlich sieht man die LÃ¶sungen z1 = 1 und z2 = - 1 auf Anhieb

f(1) = 1 - 1 + 1 - 1 = 0
f( - 1) = ( - 1)^4 - ( - 1)Â³ + ( - 1) - 1 = 1 + 1 - 1 - 1 = 0

Also ist der gesamte Term duch (z - 1)(z + 1) = (zÂ² - 1) ohne Rest teilbar:
(z^4 - zÂ³ + 0zÂ² + z - 1):(zÂ² - 1) = zÂ² - z + 1
z^4 ....... - zÂ²
___________
....... - zÂ³ + zÂ² + z - 1
....... - zÂ³ ...... + z
-------------------------------
................zÂ² ....... - 1
............... zÂ² ....... - 1
........... ---------------------
............................ 0

zÂ² - z + 1 = 0
z3/4 = 1/2 +/- wurzel(1/4 - 4/4)
z3/4 = 1/2 +/- wurzel(-3) / 2
z3 = [ - 1+ wurzel3)i]/2
z4 = [ - 1 - wurzel(3)i]/2

Wie finde ich alle Lösungen von z^4-z^3+z-1=0 ?

3 Antworten