Obersumme von f(x)=1/2x^2?

Mit O4 ist wahrscheinlich ein Rechteck gemeint. Mit der Obersumme berechnet man nämlich den Flächeninhalt eines Rechtecks über einem Graphen in einem bestimmten Intervall.

Um die Obersumme zu berechnen, brauch man aber mindestens die Länge des Intervalls und eventuell noch die Anzahl der Teilintervalle(n). Hast du diese Werte vergessen anzugeben?

Mit diesen Werten müsste die Obersumme dann so aussehen:

On= 1/n * f(1*1/n) + 1/n * f(2*1/n) +...+ 1/n * f(n*1/n)

=1/n* 0.5*(1*1/n)² + 1/n * 0.5*(2*1/n)² +...+ 1/n * 0.5*(n*1/n)²

=1/n* 0.5*1²*(1/n)² + 1/n * 0.5 * 2²*(1/n)² +...+ 1/n * 0.5* n²*(1/n)² Distributivgesetz

= (1/n)³ * 0.5 * [1² + 2² +...+n²] für die eckige Klammer kannst du eine vorgegeben Formel einsetzen

= (1/n)³ * 0.5 * [1/6n * (n+1)*(2n+1)] Ausmultiplizieren

= 1/n³ *1/6n * 0.5 * (n+1) * (2n+1)

= 1/12 * n/n³ *(n+1) *(2n+1)

= 1/12 *1/n² *(n+1) * (2n+1)

= 1/12 * 1/n * (n+1) * 1/n * (2n+1)

= 1/12 * ( 1 + 1/n) * (2+1/n)

Dann lässt du n gegen unendlich laufen. Also du setzt quasi eine ganz hohe Zahl dafür ein. Dann geht 1/n nämlich gegen Null.

Somit bildest du dann den Grenzwert:

lim On = 1/12 *1*2= 2/12= 1/6

n-> undendlich