Wie bilde ich die Ableitung aus...?

Funktionsgleichung: f(x)=(x+2)⋅(x+1)−0,5−2

1. Ableitung

f′(x)=xx+1⋅(2⋅x+2)

2. Ableitung

f′′(x)=−x−2x+1⋅(4⋅x2+8⋅x+4)

3. Ableitung

f′′′(x)=3⋅x−12x+1⋅(8⋅x3+24⋅x2+24⋅x+8)

Stammfunktion

F(x)=2⋅x⋅x+1+4⋅x+1−3⋅x−33

Nullstelle bei

x=0

Polstellen

Polstelle 1. Ordnung bei x=−1

Extrema

Minimum im Punkt ( 0 | 0 )

Wendepunkte

Wendepunkt bei ( 2 | 0,3094 )

Grenzwert gegen plus unendlich

limx→∞f(x)=∞

Senkrechte Asymptote bei x=−1

Die Konstante -2 darfst Du beim Ableiten vergessen. Wenn Du auf Quotientenregel verzichtest, so machst Du das mit der Produktregel ganz richtig. u(x)=x+2 u'(x)=1 v(x)=(x+1)^-0,5

v'(x) nach Kettenregel.

Am Ende haben wir f ' (x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x) = 0,5x (x+1)^-1,5

und f ' ' (x)=0,25 (2-x) (x+1)^-2,5

so dass Du mit den notw. und hinr. Bedingungen wie gewohnt Extrema berechnen kannst.

Der Tiefpunkt liegt bei T(0|0).

Kennst Du nicht die Quotientenregel?

Na, gut, es geht auch ohne.

Dann muss man den Term tatsächlich so umformen, wie Du das gemacht hast, also

1/ wurzel(x+1) = (x+1)^(-0,5)

f(x) = (x+2)*(x+1)^(-0,5) - 2

Für die Produktregel gilt dann:

u = x+2 => u' = 1

v = ( x+1)^(- 0,5) => v ' = - 0,5(x+1)^(-1,5)

(uv)' = u'v + uv'

[(x+2)*(x+1)^(-0,5) - 2]' = [(x+2)*(x+1)^(-0,5)]' =

(x+2) ' *(x+1)^(-0,5) + (x+2)*[(x+1)^(-0,5)]' =

(x+1)^(-0,5) - 0,5 (x+2)*(x+1)^(- 1,5) =

x+1)^(-0,5) - 0,5 (x+2)*(x+1)^(- 3/2)

Du hast übersehen, dass Du beim letzten Term den Exponenten um 1 heruntersetzen musst.

Es ergibt sich:

f '(x) = 1/wurzel(x+1) - (x+2)/2wurzel[(x+1)³]

f '(x) = [2(x+1) - (x+2)] / 2wurzel[(x+1)³]

f '(x) = (2x + 2 - x - 2) / 2wurzel[(x+1)³]

f '(x) = x/2wurzel[(x+1)³]

Extremstelle bei x_e = 0

f(0) = 2/wurzel(1) - 2 = 0

Da alle anderen Funktionswerte positiv sind, liegt in O(0|0) das absolute Minimum vor.

Definitionsbereich: X_f = ( - 1; +oo)

In x = - 1 liegt eine rechtsseitige Polstellle vor.

lim (x-> - 1 ) f(x) = +oo

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